Nel design della connessione in acciaio, bulloni sono generalmente progettati come un gruppo di bulloni che agisce come un unico corpo per resistere a un determinato carico. La forza di un gruppo di bulloni è normalmente determinata dalla forza di controllo del suo bullone più critico. I carichi diretti sono distribuiti sul numero totale di bulloni, mentre il momento indotto dovuto all’eccentricità del carico è distribuito in relazione al momento di inerzia del gruppo bulloni e alla distanza dal baricentro. Questa si chiama analisi elastica. A causa delle sue ipotesi semplificate e prudenti sulla distribuzione del carico, spesso produce connessioni bullonate sovradimensionate.
Quando si parla di ingegneria del valore e di progettazione economica, l'approccio anelastico è preferito dalla maggior parte dei produttori. Richiede meno bulloni per la stessa entità di carico. Per fare l'approccio anelastico, il centro di rotazione istantaneo (ICOR) il metodo che utilizza le iterazioni è il modo migliore.
In questo articolo, dimostriamo come calcolare la forza di a connessione bullonata utilizzando il metodo ICOR. Le reazioni per bullone vengono calcolate utilizzando l'equazione (7-1) alla pagina 7-7 del Manuale AISC 15a edizione. Questo viene poi utilizzato per verificare se la posizione presunta del centro istantaneo del gruppo di bulloni è corretta. Infine, una volta che abbiamo la posizione corretta dell'IC, calcoliamo il coefficiente C del gruppo di bulloni per determinarne la resistenza.
Lavorato a mano, il metodo ICOR è un processo lungo, perché trovare il Centro Istantaneo (CIRCUITO INTEGRATO) è prova ed errore. Con un risolutore computerizzato, invece, l'IC di un gruppo di bulloni viene trovato tramite iterazioni programmate. La Risolutore di gruppi Bolt SkyCiv utilizza un metodo di iterazione rapida per determinare la posizione del circuito integrato e il coefficiente del gruppo di bulloni in pochi secondi. È utilizzato sia dall'AISC che dall'AS 4100 moduli di connessione.
L'esempio seguente è lo stesso calcolo eseguito dal risolutore, mostrato la mano lunga in modo da poter seguire cosa sta facendo.
Ottenere le proprietà del gruppo di bulloni
Iniziamo con una semplice analisi di un gruppo di quattro bulloni caricati con un carico di taglio verticale eccentrico di 10 kips. L'eccentricità del carico lungo l'asse x è 4 pollici a destra del gruppo di bulloni. L'angolo dalla verticale è zero e l'eccentricità lungo l'asse y è zero.
[math] V_{u} = 10\,kips [math]
[math] \theta = 0\,deg [math]
[math] e_{x} = 4\,in [math]
[math] e_{y} = 0\,in [math]
La prima cosa da fare è ottenere le coordinate di tutti i bulloni del gruppo. Guide visive e tabelle sono altamente raccomandate.
| ID negozio | X (pollici) | E (pollici) |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 3 |
| 3 | 3 | 0 |
| 4 | 3 | 3 |
Per ottenere il baricentro del gruppo di bulloni lungo gli assi xey, abbiamo bisogno della formula seguente.
Permettere [mathin] n [mathin] = numero totale di bulloni
[math] X_{CG} = \frac{\sum X}{n} [math]
[math] Y_{CG} = \frac{\sum Y}{n} [math]
Poi, la nostra soluzione è:
[math] X_{CG} = \frac{\sum X}{n} = \frac{0\,in + 0\,in + 3\,in + 3\,in}{4} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{CG} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{0\,in + 3\,in + 0\,in + 3\,in}{4} = 1.5\,in [math]
Assumi la posizione dell'I.C.
Dopo aver ottenuto il baricentro, assumiamo la posizione del centro istantaneo (CIRCUITO INTEGRATO). Come primo tentativo, possiamo supporre che l'IC si trovi nel baricentro geometrico del gruppo di bulloni.
Quindi, assumere
[math] X_{IC} = X_{CG} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{IC} = Y_{CG} = 1.5\,in [math]
Quindi tabuliamo lo spostamento di ciascun bullone dall'IC. Calcola prima la distanza lungo x e la distanza lungo y, quindi lo spostamento risultante.
| ID negozio | cx (pollici) | ci (pollici) | c (pollici) |
| 1 | -1.5 | -1.5 | 2.121 |
| 2 | -1.5 | 1.5 | 2.121 |
| 3 | 1.5 | -1.5 | 2.121 |
| 4 | 1.5 | 1.5 | 2.121 |
Dove,
[math] c_{x} = X_{i} – X_{IC} [math]
[math] c_{y} = Y_{i} – Y_{IC} [math]
[math] c = \sqrt{ {\left( c_{x} \right)}^{2} + {\left( c_{y} \right)}^{2} } [math]
Per il bullone n. 1, la nostra soluzione è
[math] c_{x} = 0\,in – 1.5\,in = -1.5\,in [math]
[math] c_{y} = 0\,in – 1.5\,in = -1.5\,in [math]
[math] c = \sqrt{ {\left( -1.5\,in \right)}^{2} + {\left( -1.5\,in \right)}^{2} } = 2.121\,in [math]
Calcolare la deformazione per bullone rispetto alla distanza da IC
Dopo aver ottenuto le distanze dei bulloni dalla posizione presunta del circuito integrato, calcoliamo la deformazione di ciascun bullone in funzione della sua distanza.
La deformazione massima per bullone, [mathin] \Delta_{max} = 0.34\,in [mathin], si basa su dati sperimentali per un bullone ASTM come descritto nella pagina AISC 7-8. Per proporzione lineare, e impostazione [mathin] \Delta_{max} = 0.34\,in [mathin], possiamo calcolare la deformazione di un singolo bullone rispetto alla sua quota di distanza massima [mathin] c_{max} [mathin]. L'equazione per ottenere [mathin] \Delta [mathin] è mostrato di seguito.
[math] \Delta_{1} = 0.34\,in \times \left( \frac{c}{c_{max}} \right) [math]
Per il bullone n. 1, la deformazione è
[math] \Delta_{1} = 0.34\,in \times \left( \frac{2.121\,in}{2.121\,in} \right) = 0.34\,in [math]
Perché l'IC è stato assunto al baricentro, tutti e quattro i bulloni sono alla stessa distanza da esso, quindi tutti e quattro raggiungono la stessa deformazione. Le deformazioni calcolate sono tabellate di seguito.
| ID negozio | [mathin] \Delta [mathin] (pollici) |
| 1 | 0.34 |
| 2 | 0.34 |
| 3 | 0.34 |
| 4 | 0.34 |
Ottieni le reazioni per bullone
Una volta che abbiamo la deformazione per bullone, usiamo AISC 15a Ed. Eq (7-1) per ottenere le reazioni per bullone.
[math] R = R_{ult} \left( 1 – e^{-10\Delta} \right)^{0.55} [math]
La [mathin] R_{ult} [mathin] nell'equazione è il carico ultimo presunto su un bullone, che possiamo impostare come resistenza al taglio del bullone.
[math] R_{ult} = \phi R_{n} [math]
Per il nostro esempio, utilizziamo una resistenza a taglio del bullone pari a [mathin] 24.4\,kip [mathin]. Un altro valore è altrettanto valido, perché si annulla quando calcoliamo il coefficiente del gruppo di bulloni [mathin] C [mathin] più tardi.
Per il bullone n. 1, la reazione calcolata è
[math] R = R_{ult} \left( 1 – e^{-10\Delta} \right)^{0.55} [math]
[math] R = 24.4\,kip \left( 1 – e^{-10 \times \left( 0.34\,in \right)} \right)^{0.55} [math]
[math] R = 23.949\,kip [math]
Per il resto dei bulloni, le reazioni calcolate sono le seguenti. Le componenti della reazione del bullone [mathin] R [mathin] lungo x e y sono mostrati anche.
| ID negozio | R (kip) | Trova la distribuzione delle sollecitazioni in una piastra quadrata a causa degli effetti di un foro circolare al centro sotto un carico lineare uniforme nel piano (kip) | Ry (kip) |
| 1 | 23.949 | 16.937 | -16.937 |
| 2 | 23.949 | -16.937 | -16.937 |
| 3 | 23.949 | 16.937 | 16.937 |
| 4 | 23.949 | -16.937 | 16.937 |
| ⅀Rx = 0 | ⅀Ry = 0 |
La forza di ciascun bullone agisce perpendicolarmente alla linea che unisce quel bullone all'IC, che è ciò che determina il segno delle sue due componenti. Per il bullone n. 1, le soluzioni per le componenti xey sono mostrate di seguito.
[math] R_{x} = -R \left( \frac{c_{y}}{c} \right) = -23.949 \times \left( \frac{-1.5\,in}{2.121\,in} \right) = 16.937\,kip [math]
[math] R_{y} = R \left( \frac{c_{x}}{c} \right) = 23.949 \times \left( \frac{-1.5\,in}{2.121\,in} \right) = -16.937\,kip [math]
Successivamente abbiamo bisogno del momento in cui ciascuna reazione del bullone produce circa l'IC. Utilizzare i componenti [mathin] R_{x} [mathin] e [mathin] R_{y} [mathin] con i bracci di leva [mathin] c_{y} [mathin] e [mathin] c_{x} [mathin].
[math] M_{r} = -R_{x} c_{y} + R_{y} c_{x} [math]
Per il bullone n. 1, il momento della reazione sull'IC è
[math] M_{r} = -16.937\,kip \times \left( -1.5\,in \right) + \left( -16.937\,kip \right) \times \left( -1.5\,in \right) [math]
[math] M_{r} = 50.811\,kip\text{-}in [math]
Come assegno, lo stesso momento è [mathin] R \times c = 23.949 \times 2.121 = 50.8\,kip\text{-}in [mathin], perché la forza è perpendicolare al raggio.
Ogni bullone qui si trova alla stessa distanza dal presunto IC e trasporta la stessa forza, quindi ogni bullone ritorna nello stesso momento. Le reazioni del momento sono elencate di seguito.
| ID negozio | Sig (pollo-in) |
| 1 | 50.811 |
| 2 | 50.811 |
| 3 | 50.811 |
| 4 | 50.811 |
| ⅀Signor = 203.244 |
Verifica della posizione dell'IC
Ora che abbiamo le reazioni di taglio e momento per bullone, li usiamo per determinare il carico a cui resiste questo gruppo di bulloni. Prendi la risultante della somma di tutte le reazioni lungo x e la somma di tutte le reazioni lungo y.
Dalla sezione precedente, lo abbiamo calcolato
[math] \sum R_{x} = 0\,kip [math]
e
[math] \sum R_{y} = 0\,kip [math]
Quindi,
[math] P_{u} = \sqrt{ {\left( \sum R_{x} \right)}^{2} + {\left( \sum R_{y} \right)}^{2} } = 0\,kip [math]
Il carico risultante è [mathin] P_{u} = 0\,kip [mathin]. Un gruppo di bulloni che ruota attorno al proprio baricentro trasporta puro momento e nessuna forza netta, quindi non può resistere al taglio applicato. Questo ci dice già che la prima posizione presunta dell'IC è sbagliata, e potremmo fermarci qui. Ai fini di questa discussione, proseguiremo con i passaggi rimanenti.
[math] P_{ux} = -P_{u}\sin\left( \theta \right) = 0\,kip [math]
[math] P_{uy} = -P_{u}\cos\left( \theta \right) = 0\,kip [math]
[math] M_{u} = -P_{ux}\left( Y_{CG} + e_{y} – Y_{IC} \right) + P_{uy} \left( X_{CG} + e_{x} – X_{IC} \right) = 0\,kip\text{-}in [math]
Da,
[math] P_{ux} \neq \sum R_{x} [math]
[math] P_{uy} \neq \sum R_{y} [math]
[math] M_{u} \neq \sum M_{r} [math]
Il momento applicato è zero mentre la somma delle reazioni del bullone è pari a 203.244 pollo-in, quindi l’equilibrio non è soddisfatto. La presunta ubicazione dell'I.C. non è corretto, e ci spostiamo alla successiva posizione presunta.
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Seconda Iterazione
Per la nostra seconda iterazione, supponiamo che l'I.C. si trova alle coordinate indicate di seguito. Perché il carico è un taglio verso il basso applicato a destra del gruppo, il vero IC si trova a sinistra del baricentro, quindi il processo si muove in quella direzione.
Assumere
[math] X_{IC} = 0.062\,in [math]
[math] Y_{IC} = 1.5\,in [math]
Quindi ripetere i passaggi della prima iterazione. La tabella seguente mostra le coordinate, la distanza di ciascun bullone dal C.I. presunto., e la corrispondente deformazione rispetto a quella distanza.
| ID negozio | X (pollici) | E (pollici) | cx (pollici) | ci (pollici) | c (pollici) | [mathin] \Delta [mathin] (pollici) |
| 1 | 0 | 0 | -0.062 | -1.5 | 1.501 | 0.155 |
| 2 | 0 | 3 | -0.062 | 1.5 | 1.501 | 0.155 |
| 3 | 3 | 0 | 2.938 | -1.5 | 3.299 | 0.34 |
| 4 | 3 | 3 | 2.938 | 1.5 | 3.299 | 0.34 |
Questa volta i bulloni non sono tutti alla stessa distanza dall'IC, quindi solo la coppia più lontana raggiunge il 0.34 nel limite. La coppia vicina si deforma meno e quindi trasporta meno carico.
Si noti che il baricentro calcolato di gruppo di bulloni è invariato, poiché le coordinate del bullone non si sono spostate.
[math] X_{CG} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{CG} = 1.5\,in [math]
Quindi calcoliamo le reazioni lungo x, le reazioni lungo y, e il momento corrispondente. I valori sono tabulati di seguito.
| ID negozio | R (kip) | Trova la distribuzione delle sollecitazioni in una piastra quadrata a causa degli effetti di un foro circolare al centro sotto un carico lineare uniforme nel piano (kip) | Ry (kip) | Sig (pollo-in) |
| 1 | 21.4 | 21.4 | -0.9 | 32.1 |
| 2 | 21.4 | -21.4 | -0.9 | 32.1 |
| 3 | 23.9 | 10.9 | 21.3 | 79.0 |
| 4 | 23.9 | -10.9 | 21.3 | 79.0 |
| ⅀Rx = 0 | ⅀Ry = 41 | ⅀Signor = 222 |
Successivamente, determiniamo il carico risultante di tutte le reazioni lungo x e y.
[math] P_{u} = \sqrt{ {\left( \sum R_{x} \right)}^{2} + {\left( \sum R_{y} \right)}^{2} } [math]
[math] P_{u} = \sqrt{ {\left( 0\,kip \right)}^{2} + {\left( 40.703\,kip \right)}^{2} } [math]
[math] P_{u} = 40.703\,kip [math]
Quindi i componenti del carico risultante, in base a quanto dato [mathin] \theta [mathin], sono mostrati di seguito.
[math] P_{ux} = -P_{u}\sin\left( \theta \right) = -41\,kip \times \sin\left( 0\,deg \right) = 0\,kip [math]
[math] P_{uy} = -P_{u}\cos\left( \theta \right) = -41\,kip \times \cos\left( 0\,deg \right) = -41\,kip [math]
Utilizziamo quindi questi componenti per risolvere per il momento il carico relativo al C.I. presunto.
[math] M_{u} = -P_{ux} \left( Y_{CG} + e_{y} – Y_{IC} \right) + P_{uy} \left( X_{CG} + e_{x} – X_{IC} \right) [math]
[math] M_{u} = -0\,kip \left( 1.5\,in + 0\,in – 1.5\,in \right) + \left( -41\,kip \right) \left( 1.5\,in + 4\,in – 0.062\,in \right) [math]
[math] M_{u} = -222\,kip\text{-}in [math]
Successivamente, confrontiamo il calcolato [mathin] P_{ux} [mathin], [mathin] P_{uy} [mathin] e [mathin] M_{u} [mathin] contro le reazioni del gruppo di bulloni.
[math] P_{ux} \approx -\sum R_{x} [math]
[math] P_{uy} \approx -\sum R_{y} [math]
[math] M_{u} \approx -\sum M_{r} [math]
Numericamente lo è 0 contro 0, -41 kip contro -41 kip, e -222 kip-in contro -222 pollo-in. Il lato sinistro è abbastanza vicino al lato destro da poter prendere la posizione presunta dell'IC. come corretto.
In pratica il risolutore continua a spostare l'IC di prova finché questi tre residui non rientrano in una tolleranza, piuttosto che fermarsi a una corrispondenza visiva.
Risolvere il coefficiente C
Una volta che l'I.C. la posizione è determinata, possiamo ottenere il coefficiente C del gruppo di bulloni con la formula seguente.
[math] C = \frac{P_{u}}{\phi R_{n}} = \frac{40.703\,kip}{24.4\,kip} = 1.668 [math]
Il coefficiente significa che il gruppo porta 1.668 volte la forza di un singolo bullone. Si noti che questo è ben al di sotto dei quattro bulloni presenti, perché l’eccentricità costa al gruppo la maggior parte della sua capacità nominale. È anche il luogo della scelta [mathin] R_{ult} [mathin] annulla, ecco perché all'inizio è possibile utilizzare qualsiasi valore coerente.
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