在钢连接设计中, 螺栓 通常设计为一组螺栓，作为一个整体来抵抗给定的载荷. 螺栓组的强度通常由其最关键螺栓的控制强度来设定. 直接载荷分布在螺栓总数中, 而由于载荷偏心而引起的力矩的分布与螺栓组的转动惯量和距质心的距离有关. 这称为弹性分析. 由于其对负载分布的简化和保守假设, 它通常会产生过度设计的螺栓连接.
当谈论价值工程和经济设计时, 大多数制造商更喜欢非弹性方法. 对于相同大小的负载，需要更少的螺栓. 做无弹性的方法, 瞬时旋转中心 (ICOR) 使用迭代的方法是最好的方法.
在这篇文章中, 我们演示如何计算强度 螺栓连接 使用 ICOR 方法. 每个螺栓的反应使用方程式计算 (7-1) 在页面上 7-7 AISC 第 15 版手册. 然后用于检查螺栓组瞬时中心的假设位置是否正确. 最后, 一旦我们有了正确的 IC 位置, 我们计算螺栓组系数C以确定其强度.
手工制作, ICOR方法是一个漫长的过程, 因为找到瞬时中心 (我知道了) 是反复试验. 使用计算机解算器，可以通过编程迭代找到螺栓组的 IC. 的 SkyCiv 螺栓组求解器 使用快速迭代方法在数秒内确定 IC 位置和螺栓组系数. AISC 和 AS 都使用它 4100 连接模块.
下面的工作示例与求解器执行的计算相同, 显示长手，以便您可以跟随它在做什么.
获取螺栓组属性
让我们首先对由四个螺栓组成的螺栓组进行简单分析，该螺栓组承受偏心垂直剪切载荷 10 ps. 载荷沿 x 轴的偏心率为 4 英寸到螺栓组的右侧. 与垂直方向的角度为零，沿 y 轴的偏心率为零.
[math] V_{u} = 10\,kips [math]
[math] \theta = 0\,deg [math]
[math] e_{x} = 4\,in [math]
[math] e_{y} = 0\,in [math]
首先要做的是获取组中所有螺栓的坐标. 强烈推荐视觉指南和表格.
| 店铺编号 | X (在) | 和 (在) |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 3 |
| 3 | 3 | 0 |
| 4 | 3 | 3 |
获取螺栓组沿 x 轴和 y 轴的质心, 我们需要下面的公式.
让 [mathin] n [mathin] = 螺栓总数
[math] X_{CG} = \frac{\sum X}{n} [math]
[math] Y_{CG} = \frac{\sum Y}{n} [math]
然后, 我们的解决方案是:
[math] X_{CG} = \frac{\sum X}{n} = \frac{0\,in + 0\,in + 3\,in + 3\,in}{4} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{CG} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{0\,in + 3\,in + 0\,in + 3\,in}{4} = 1.5\,in [math]
假设 I.C 的位置.
得到质心后, 我们假设瞬时中心的位置 (我知道了). 作为第一次尝试, 我们可以假设 IC 位于螺栓组的几何质心.
所以, 认为
[math] X_{IC} = X_{CG} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{IC} = Y_{CG} = 1.5\,in [math]
然后我们将 IC 中每个螺栓的位移制成表格. 首先获取沿 x 的距离和沿 y 的距离, 那么由此产生的位移.
| 店铺编号 | CX (在) | cy (在) | C (在) |
| 1 | -1.5 | -1.5 | 2.121 |
| 2 | -1.5 | 1.5 | 2.121 |
| 3 | 1.5 | -1.5 | 2.121 |
| 4 | 1.5 | 1.5 | 2.121 |
在哪里,
[math] c_{x} = X_{i} – X_{IC} [math]
[math] c_{y} = Y_{i} – Y_{IC} [math]
[math] c = \sqrt{ {\left( c_{x} \right)}^{2} + {\left( c_{y} \right)}^{2} } [math]
对于螺栓号. 1, 我们的解决方案是
[math] c_{x} = 0\,in – 1.5\,in = -1.5\,in [math]
[math] c_{y} = 0\,in – 1.5\,in = -1.5\,in [math]
[math] c = \sqrt{ {\left( -1.5\,in \right)}^{2} + {\left( -1.5\,in \right)}^{2} } = 2.121\,in [math]
计算每个螺栓与 IC 距离的变形
获得距假定 IC 位置的螺栓距离后, 我们计算每个螺栓的变形作为其距离的函数.
每个螺栓的最大变形, [mathin] \Delta_{max} = 0.34\,in [mathin], 基于 ASTM 螺栓的实验数据，如 AISC 页面中所述 7-8. 按线性比例, 和设置 [mathin] \Delta_{max} = 0.34\,in [mathin], 我们可以计算单个螺栓相对于其最大距离份额的变形 [mathin] c_{max} [mathin]. 得到的方程 [mathin] \Delta [mathin] 如下所示.
[math] \Delta_{1} = 0.34\,in \times \left( \frac{c}{c_{max}} \right) [math]
对于螺栓号. 1, 变形是
[math] \Delta_{1} = 0.34\,in \times \left( \frac{2.121\,in}{2.121\,in} \right) = 0.34\,in [math]
因为 IC 被假设在质心, 所有四个螺栓距其的距离相同, 所以四个都达到相同的变形. 计算出的变形如下表所示.
| 店铺编号 | [mathin] \Delta [mathin] (在) |
| 1 | 0.34 |
| 2 | 0.34 |
| 3 | 0.34 |
| 4 | 0.34 |
获取每个螺栓的反应
一旦我们有了每个螺栓的变形, 我们使用 AISC 第 15 版. 情商 (7-1) 得到每个螺栓的反应.
[math] R = R_{ult} \left( 1 – e^{-10\Delta} \right)^{0.55} [math]
的 [mathin] R_{ult} [mathin] 等式中是螺栓上的假定极限载荷, 我们可以将其设置为螺栓剪切强度.
[math] R_{ult} = \phi R_{n} [math]
对于我们的例子, 我们使用的螺栓抗剪强度为 [mathin] 24.4\,kip [mathin]. 另一个值同样有效, 因为当我们计算螺栓组系数时它被抵消了 [mathin] C [mathin] 稍后的.
对于螺栓号. 1, 计算的反应是
[math] R = R_{ult} \left( 1 – e^{-10\Delta} \right)^{0.55} [math]
[math] R = 24.4\,kip \left( 1 – e^{-10 \times \left( 0.34\,in \right)} \right)^{0.55} [math]
[math] R = 23.949\,kip [math]
对于其余的螺栓, 计算的反应如下. 螺栓反作用力的组成部分 [mathin] R [mathin] 沿 x 和 y 也显示.
| 店铺编号 | [R (基普) | 接收 (基普) | 瑞 (基普) |
| 1 | 23.949 | 16.937 | -16.937 |
| 2 | 23.949 | -16.937 | -16.937 |
| 3 | 23.949 | 16.937 | 16.937 |
| 4 | 23.949 | -16.937 | 16.937 |
| ⅀Rx = 0 | ⅀Ry = 0 |
每个螺栓力垂直于该螺栓与 IC 的连接线, 这就是设置其两个分量的符号的原因. 用于 1 号螺栓, x 和 y 分量的解如下所示.
[math] R_{x} = -R \left( \frac{c_{y}}{c} \right) = -23.949 \times \left( \frac{-1.5\,in}{2.121\,in} \right) = 16.937\,kip [math]
[math] R_{y} = R \left( \frac{c_{x}}{c} \right) = 23.949 \times \left( \frac{-1.5\,in}{2.121\,in} \right) = -16.937\,kip [math]
接下来我们需要每个螺栓对 IC 产生反应的时刻. 使用组件 [mathin] R_{x} [mathin] 和 [mathin] R_{y} [mathin] 与杠杆臂 [mathin] c_{y} [mathin] 和 [mathin] c_{x} [mathin].
[math] M_{r} = -R_{x} c_{y} + R_{y} c_{x} [math]
用于 1 号螺栓, 关于 IC 的瞬间反应是
[math] M_{r} = -16.937\,kip \times \left( -1.5\,in \right) + \left( -16.937\,kip \right) \times \left( -1.5\,in \right) [math]
[math] M_{r} = 50.811\,kip\text{-}in [math]
作为支票, 同一个时刻是 [mathin] R \times c = 23.949 \times 2.121 = 50.8\,kip\text{-}in [mathin], 因为力垂直于半径.
这里的每个螺栓与假设的 IC 的距离相同，并承受相同的力, 所以每个螺栓都会返回相同的时刻. 瞬间反应如下表所示.
| 店铺编号 | 先生 (小鸡) |
| 1 | 50.811 |
| 2 | 50.811 |
| 3 | 50.811 |
| 4 | 50.811 |
| ⅀先生 = 203.244 |
验证 IC 位置
现在我们有了每个螺栓的剪切和力矩反应, 我们用它们来确定该螺栓组抵抗的负载. 取沿 x 的所有反应的总和与沿 y 的所有反应的总和的结果.
从上一节, 我们计算出
[math] \sum R_{x} = 0\,kip [math]
和
[math] \sum R_{y} = 0\,kip [math]
所以,
[math] P_{u} = \sqrt{ {\left( \sum R_{x} \right)}^{2} + {\left( \sum R_{y} \right)}^{2} } = 0\,kip [math]
由此产生的负载是 [mathin] P_{u} = 0\,kip [mathin]. 绕其质心旋转的螺栓组承载纯力矩且无净力, 所以它不能抵抗所施加的剪切力. 这已经告诉我们第一个假定的 IC 位置是错误的, 我们可以停在这里. 出于本次讨论的目的, 我们将继续完成剩余的步骤.
[math] P_{ux} = -P_{u}\sin\left( \theta \right) = 0\,kip [math]
[math] P_{uy} = -P_{u}\cos\left( \theta \right) = 0\,kip [math]
[math] M_{u} = -P_{ux}\left( Y_{CG} + e_{y} – Y_{IC} \right) + P_{uy} \left( X_{CG} + e_{x} – X_{IC} \right) = 0\,kip\text{-}in [math]
以来,
[math] P_{ux} \neq \sum R_{x} [math]
[math] P_{uy} \neq \sum R_{y} [math]
[math] M_{u} \neq \sum M_{r} [math]
施加的力矩为零，而螺栓反作用力总和为 203.244 小鸡, 所以不满足均衡. I.C 的假设位置. 是不正确的, 然后我们移动到下一个假设位置.
SkyCiv 在其连接设计模块中内置了螺栓组计算. 想试用我们的连接设计软件?
第二次迭代
对于我们的第二次迭代, 让我们假设 I.C. 位于下图坐标. 因为载荷是施加在组右侧的向下剪切力, 真正的 IC 位于质心的左侧, 所以审判会朝这个方向发展.
认为
[math] X_{IC} = 0.062\,in [math]
[math] Y_{IC} = 1.5\,in [math]
然后重复第一次迭代的步骤. 下表显示了坐标, 每个螺栓距假定 I.C. 的距离, 以及相对于该距离的相应变形.
| 店铺编号 | X (在) | 和 (在) | CX (在) | cy (在) | C (在) | [mathin] \Delta [mathin] (在) |
| 1 | 0 | 0 | -0.062 | -1.5 | 1.501 | 0.155 |
| 2 | 0 | 3 | -0.062 | 1.5 | 1.501 | 0.155 |
| 3 | 3 | 0 | 2.938 | -1.5 | 3.299 | 0.34 |
| 4 | 3 | 3 | 2.938 | 1.5 | 3.299 | 0.34 |
这次螺栓与 IC 的距离并不相同, 所以只有最远的一对到达 0.34 在限制内. 靠近的一对变形较小，因此承载的负载较小.
请注意，计算出的质心 螺栓组 没有改变, 因为螺栓坐标没有移动.
[math] X_{CG} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{CG} = 1.5\,in [math]
然后我们计算沿 x 的反应, 沿 y 的反应, 和相应的时刻. 数值如下表所示.
| 店铺编号 | [R (基普) | 接收 (基普) | 瑞 (基普) | 先生 (小鸡) |
| 1 | 21.4 | 21.4 | -0.9 | 32.1 |
| 2 | 21.4 | -21.4 | -0.9 | 32.1 |
| 3 | 23.9 | 10.9 | 21.3 | 79.0 |
| 4 | 23.9 | -10.9 | 21.3 | 79.0 |
| ⅀Rx = 0 | ⅀Ry = 41 | ⅀先生 = 222 |
下一个, 我们确定沿 x 和 y 的所有反应的合成载荷.
[math] P_{u} = \sqrt{ {\left( \sum R_{x} \right)}^{2} + {\left( \sum R_{y} \right)}^{2} } [math]
[math] P_{u} = \sqrt{ {\left( 0\,kip \right)}^{2} + {\left( 40.703\,kip \right)}^{2} } [math]
[math] P_{u} = 40.703\,kip [math]
然后是合成载荷的分量, 基于给定的 [mathin] \theta [mathin], 如下所示.
[math] P_{ux} = -P_{u}\sin\left( \theta \right) = -41\,kip \times \sin\left( 0\,deg \right) = 0\,kip [math]
[math] P_{uy} = -P_{u}\cos\left( \theta \right) = -41\,kip \times \cos\left( 0\,deg \right) = -41\,kip [math]
然后，我们使用这些组件来求解关于假设 I.C 的力矩负载.
[math] M_{u} = -P_{ux} \left( Y_{CG} + e_{y} – Y_{IC} \right) + P_{uy} \left( X_{CG} + e_{x} – X_{IC} \right) [math]
[math] M_{u} = -0\,kip \left( 1.5\,in + 0\,in – 1.5\,in \right) + \left( -41\,kip \right) \left( 1.5\,in + 4\,in – 0.062\,in \right) [math]
[math] M_{u} = -222\,kip\text{-}in [math]
下一个, 让我们比较计算的 [mathin] P_{ux} [mathin], [mathin] P_{uy} [mathin] 和 [mathin] M_{u} [mathin] 对抗螺栓组的反应.
[math] P_{ux} \approx -\sum R_{x} [math]
[math] P_{uy} \approx -\sum R_{y} [math]
[math] M_{u} \approx -\sum M_{r} [math]
从数值上来说就是 0 反对 0, -41 反对 -41 基普, 和 -222 加入反对 -222 小鸡. 左侧距离右侧足够近，我们可以假设 I.C 的位置. 正确.
实际上，求解器会不断移动试验 IC，直到这三个残差落入公差范围内, 而不是停留在视觉匹配上.
求解 C 系数
一旦 I.C. 位置确定, 由下式可得螺栓组系数C.
[math] C = \frac{P_{u}}{\phi R_{n}} = \frac{40.703\,kip}{24.4\,kip} = 1.668 [math]
该系数表示该组携带 1.668 单个螺栓强度的倍数. 请注意，这远低于现有的四个螺栓, 因为偏心使该组损失了大部分名义容量. 这也是选择的地方 [mathin] R_{ult} [mathin] 取消, 这就是为什么可以在开始时使用任何一致的值.
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