如何计算不确定的光束 – 双积分法

Indeterminate 横梁 can be a challenge because of the extra steps needed for solving the reactions. 请记住，不确定结构具有所谓的不确定度. 解决结构, 必须引入边界条件. 所以, 不确定程度越高, 需要识别的边界条件越多. 但在我们解决不确定梁之前, 我们首先需要确定梁是否是静态不确定的. 由于梁是一维结构, using the equation to determine externally statically indeterminate structures is sufficient.

[数学]
一世_{Ë}=R-左 ( 3+e_{C} \对 )
[数学]

在哪里:

• 一世_Ë = 不确定度
• R = 反应总数
• Ë_C = 外部条件 (例如. 内铰链)

通常, 然而, without the need to solve for the degree of indeterminacy, 除了简单的跨度或悬臂梁之外的任何东西都是静态不确定的, 假设这样的梁没有内部铰链.

There are many ways to approach it comes to solving indeterminate beams. Although for sake of simplicity and similarity with SkyCiv Beam’s 手工计算, 我们将讨论双重积分方法.

双积分

双积分可能是所有梁分析方法中最简单的. The concept for this method is pretty straightforward as opposed to other methods as it relies mainly on a basic understanding of integral calculus, 由此得名. 从梁的曲率与力矩的关系中改编了一些积分，如下所示.

[数学]
\压裂{1}{\罗}= 分数{中号}{不}
[数学]

请注意，1/ρ 是梁的曲率，ρ 是曲线的半径. 从根本上, 曲率的定义是切线相对于弧长的变化率. 由于力矩是相对于构件长度的载荷的函数, 将曲率相对于构件的长度积分将产生梁的斜率. 相似地, 将斜率相对于构件的长度积分将产生梁偏转. 由于典型的结构载荷本质上是代数的, 这些表达式的积分就像使用通用幂公式一样简单.

[数学]
\整数 f左 ( x 右 )^{ñ}dx=frac{f左 ( x 右 )^{n+1}}{n+1}+C
[数学]

也许理解这个概念的最好方法是提供一个光束的例子，下面给出.

上面的示例梁是一个带有三角形载荷的不确定梁. 随着 支持, 一个_和, 乙_和 和 C_和 为了第一, 第二, 和第三个分别支持, 求解这些未知数的第一步是从平衡方程开始.

Note that the beam has a degree of static indeterminacy of 1°. 因为有四个未知数 (一个_X, 一个_和, 乙_和, 和 C_和) 到目前为止，除了上面的平衡方程之外，还有三个方程, 有必要根据边界条件再创建一个方程. 回想一下，点载荷和三角载荷产生的力矩如下.

点载荷:

[数学]
M=Ftimes x; M = Fx
[数学]

三角荷载:

[数学]
M=frac{w_{0}\x 次}{2}\时代左 ( \压裂{X}{3} \对 ); M = frac{w_{0}x^{2}}{6}
[数学]

使用双重积分法, 这些新方程被制作并显示在下面.

注意: 上面的方程被写成麦考利函数，其中一个表达式等于 0，当 X < 大号. 在这种情况下, L = 1.

在上面的等式中, 请注意，添加的第四个术语似乎无处不在. 事实上, 加载方向与重力方向相反. 这是因为三角形载荷方程仅在载荷随着长度增加而上升时才起作用. This is not much of an issue for equations for distributed 和 点荷载 due to their symmetry. 有效, 上面梁的等效载荷看起来像下面的梁, 因此方程基于它.

求解 C₁ 和 C₂, 必须确定边界条件. 在上面的梁, 可以观察到，三个这样的边界条件存在于 X = 0, X = 1, 和 X = 2, 其中三个位置的挠度 y 为零.

边界条件 1

[数学]
x=0, y = 0; C_{2}= 0
[数学]

边界条件 2

[数学]
x=0, y = 0; C_{1}= 分数{1}{120}-\压裂{一个_{和}}{6}
[数学]

确定每个常数的值后, 现在可以使用最后一个边界条件获得最后一个方程.

边界条件 3

注意θ的边界条件= 0 在x = 1 可以使用, 虽然只适用于对称荷载的对称连续梁的中间反力.

由于已经确定了四个方程, 它们现在可以同时解决. 求解这些方程将产生以下反应.

随着反应确定, 反应的值可以代回力矩方程. 这将使我们能够确定梁系统任何部分的力矩值.

双积分的另一个便利是力矩方程的表示方式可用于求解剪切，其关系如下所示.

[数学]
V = 压裂{米}{dx}
[数学]

再次, 仅使用对微分的基本了解, 将函数的导数等于零会产生该函数的最大值或最小值. 从而, 等于 V = 0 将导致最大的正时刻 X = 0.447 和 X = 1.553 M = 0.030

当然, 所有这些都可以通过 SkyCiv Beam 进行验证.

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