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Comment calculer une poutre indéterminée?

Comment calculer une poutre indéterminée – Méthode double intégrale

Indeterminate poutres can be a challenge because of the extra steps needed for solving the reactions. Rappelez-vous que les structures indéterminées ont ce qu'on appelle un degré d'indétermination. Pour résoudre la structure, des conditions aux limites doivent être introduites. par conséquent, plus le degré d'indétermination est élevé, plus les conditions aux limites doivent être identifiées. Mais avant de pouvoir résoudre un faisceau indéterminé, il faut d'abord identifier si le faisceau est statiquement indéterminé. Comme les poutres sont des structures unidimensionnelles, using the equation to determine externally statically indeterminate structures is sufficient.

[math]
je_{e}= R- gauche ( 3+e_{c} \droite )
[math]

Où:

  • jee = Degré d'indétermination
  • R = nombre total de réactions
  • ec = Conditions externes (par exemple. charnière interne)

Typiquement, toutefois, without the need to solve for the degree of indeterminacy, tout autre élément que de simples travées ou des poutres en porte-à-faux est statiquement indéterminé, en supposant que ces poutres ne sont pas livrées avec des charnières internes.

There are many ways to approach it comes to solving indeterminate beams. Although for sake of simplicity and similarity with SkyCiv Beam’s calculs manuels, nous discuterons de la méthode Double Intégration.

Double intégration

La double intégration est peut-être la plus simple de toutes les méthodes d'analyse des poutres. The concept for this method is pretty straightforward as opposed to other methods as it relies mainly on a basic understanding of integral calculus, d'où le nom. Un peu de calcul intégral est adapté de la relation de la courbure de la poutre au moment qui est montré ci-dessous.

[math]
\frac{1}{\rho}= frac{M}{NON}
[math]

Notez que 1 / ρ est la courbure de la poutre et que ρ est le rayon de la courbe. Fondamentalement, la définition de la courbure est le taux de changement de la tangente par rapport à la longueur de l'arc. Comme le moment est fonction du chargement par rapport à la longueur de l'élément, l'intégration de la courbure par rapport à la longueur de l'élément donnera la pente de la poutre. De même, l'intégration de la pente par rapport à la longueur de l'élément donnera la flèche de la poutre. Les chargements structurels typiques étant de nature algébrique, l'intégration de ces expressions est aussi simple que d'utiliser la formule de puissance générale.

[math]
\int f gauche ( x droite )^{n}dx = frac{f gauche ( x droite )^{n + 1}}{n + 1}+C
[math]

La meilleure façon de comprendre le concept est peut-être de fournir un exemple de poutre avec les éléments suivants.

Durée indéterminée 1 comprimé

Le faisceau échantillon ci-dessus est un faisceau indéterminé avec des chargements triangulaires. Avec le les soutiens, UNEet, Bet et Cet pour le premier, deuxième, et troisième supports respectivement, la première étape pour résoudre ces inconnues est de commencer par les équations d'équilibre.

Comment calculer une poutre indéterminée - 1

Note that the beam has a degree of static indeterminacy of 1°. Comme il y a quatre inconnues (UNEX, UNEet, Bet, et Cet) et il y a trois équations si loin des équations d'équilibre ci-dessus, il est nécessaire de créer une autre équation à partir des conditions aux limites. Rappelons que les moments générés par une charge ponctuelle et une charge triangulaire sont les suivants.

Charge ponctuelle:

[math]
M = F fois x; M = Fx
[math]

Charge triangulaire:

[math]
M = frac{w_{0}\fois x}{2}\fois gauche ( \frac{X}{3} \droite ); M = frac{w_{0}x ^{2}}{6}
[math]

En utilisant la méthode de double intégration, ces nouvelles équations sont faites et affichées ci-dessous.

Comment calculer une poutre indéterminée - 2

Remarque: Les équations ci-dessus sont écrites comme des fonctions de Macaulay où une expression est égale à zéro lorsque X < L. Dans ce cas, L = 1.

Dans les équations ci-dessus, remarquez que le quatrième terme ajouté semble sortir de nulle part. En réalité, la direction du chargement est opposée à la direction de la gravité. Cela est dû au fait que les équations pour les chargements triangulaires ne fonctionnent que lorsque la charge est ascendante à mesure que la longueur augmente. This is not much of an issue for equations for distributed et charges ponctuelles due to their symmetry. En effet, le chargement équivalent pour la poutre ci-dessus ressemble à la poutre ci-dessous, ainsi les équations sont basées dessus.

Durée indéterminée 1 équivalent compressé

Pour résoudre C1 et C2, les conditions aux limites doivent être déterminées. Dans le faisceau ci-dessus, on peut observer que trois de ces conditions aux limites existent à X = 0, X = 1, et X = 2, où la déflexion y est nulle aux trois emplacements.

Condition limite 1

[math]
x = 0, y = 0; C_{2}= 0
[math]

Condition limite 2

[math]
x = 0, y = 0; C_{1}= frac{1}{120}-\frac{UNE_{et}}{6}
[math]

Après avoir déterminé les valeurs de chaque constante, la dernière équation peut maintenant être obtenue en utilisant la dernière condition aux limites.

Condition limite 3

Comment calculer une poutre indéterminée - 3

Notez que la condition aux limites de θ = 0 à x = 1 peut être utilisé, bien qu'il ne soit applicable que pour la réaction médiane d'une poutre continue symétrique à chargement symétrique.

Comme les quatre équations ont été déterminées, ils peuvent maintenant être résolus simultanément. La résolution de ces équations donnera les réactions suivantes.

Comment calculer une poutre indéterminée - 4

Avec les réactions déterminées, les valeurs des réactions peuvent être remplacées par l'équation du moment. Cela nous permettra de déterminer la valeur du moment dans n'importe quelle partie du système de poutre.

Comment calculer une poutre indéterminée - 5

Une autre commodité de la double intégration est que l'équation du moment est présentée d'une manière qui peut être utilisée pour résoudre le cisaillement avec la relation indiquée ci-dessous.

[math]
V = frac{dM}{dx}
[math]
Comment calculer une poutre indéterminée - 6

Encore, en utilisant uniquement une compréhension de base du calcul différentiel, assimiler la dérivée d'une fonction à zéro donne le maximum ou le minimum de cette fonction. Donc, équivaut à V = 0 se traduira par un moment positif maximum à X = 0.447 et X = 1.553 de M = 0.030

Comment calculer une poutre indéterminée - 7

Bien sûr, tout cela peut être vérifié avec SkyCiv Beam.

Durée indéterminée 1 Résultats

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