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Plaques orthotropes: Théorie et exemples

MATÉRIAUX ORTHOTROPES

Avant de passer par une explication des plaques orthotropes, regardons quelques exemples de matériaux orthotropes. Des matériaux tels que les cristaux de topaze et de barytine sont orthotropes (Chandrupatla, 2012). Un autre matériau orthotrope très courant est le bois. Figure 1 montre les axes principaux dans lesquels les propriétés mécaniques sont définies pour le bois.

Plaques orthotropes

Figure 1. Le bois comme matériau orthotrope (Chandrupatla & Belegundu ,2012, page 233)

Axe 1 est défini le long du grain ou des fibres; axe 2 est tangentiel et axe 3 fonctionne radialement. La loi de Hooke généralisée pour cet exemple (et pour tout autre matériau orthotrope) peut être écrit comme

Plaques orthotropes

Équations 1. Loi de Hooke généralisée (Chandrupatla & Belegundu,2012, page 233)

Où:

  • e1, e2, e3 sont les souches normales.
  • c12, c13, c23 sont les déformations de cisaillement.
  • E1, E2, et E3 sont les modules de Young le long de l'axe principal.
  • g12, g13, g23 sont le module de cisaillement.
  • n21, n31, n12, n32, n23 sont les coefficients de Poisson.
  • Pour les indices combinés, le premier chiffre indique où la contrainte est appliquée et le second où se produit la déformation.

Par conséquent, la principale différence dans un matériau orthotrope est que nous avons des propriétés mécaniques différentes le long des axes principaux, C'est, “X”, “et”, “avec”.

PLAQUES ORTHOTROPES

Il existe des cas d'utilisation courants pour assiettes en génie des structures, que nous pouvons résumer comme suit: plat isotrope, composite ou sandwich et raidi (W. Jiang et al, 1997).

Les plaques planes isotropes sont des plaques régulières (figure n°2), il suffit de définir une valeur pour le coefficient de Poisson, Jeune, et le module de cisaillement car les propriétés mécaniques dans toutes les directions ne changent pas.

Plaques orthotropes

Figure n°2. Les plaques plates sont généralement isotropes (W. Jiang et al, 1997, page 106)

Pour les deux dernières options, plaques sandwich et raidies (figure n°3), il faut définir différentes propriétés mécaniques dans leur axe principal. Ces différentes valeurs rendent les plaques orthotropes.

Plaques orthotropes

Figure 3. Composite (la gauche) et plaques raidies chapeau (droite) (W. Jiang et al, 1997, page 106)

Dans une plaque orthotrope, on aurait deux axes avec la même raideur, figure n°3. Les axes "x" et "y" reposent sur un plan, et "z" lui est perpendiculaire.

On peut dire ça (W. Jiang et al, 1997):

  • EX = Eet Eavec ; (EX, Eet )> Eavec .
  • nxz =nyz ≠nxy ; (nxz, nyz) >nxy
  • gxy = gxz = gyz

Les expressions indiquées précédemment impliquent que la rigidité dans les directions "x" et "y" est supérieure à "z". Les coefficients de Poisson montrent également qu'il y a plus de déformation dans les plans liés à la direction "z" que dans un plan formé par les axes "x" et "y"..

EXEMPLE

Description et mise en place

Pour résumer les concepts appris dans les sections précédentes, nous allons développer un exemple dans SkyCiv. Il consiste en l'analyse d'un panneau sandwich mur/dalle qui est construit avec deux couches de béton projeté séparées par une âme en polystyrène. Nous avons choisi la référence suivante pour les propriétés mécaniques à utiliser dans la modélisation: Torres Villavicencio et al. (2013).

Exemple de plaques orthotropes

Figure 4. Panneau sandwich mur/dalle

Pour capturer la différence d'analyse dans les plaques lorsque nous sélectionnons les options avancées (orthotrope), nous développons une courte comparaison des panneaux sandwich décrits ci-dessus et une approximation de leurs propriétés mécaniques en utilisant une approche isotrope. Le dernier cas utilise des valeurs de propriétés mécaniques qui ne changent pas le long de leurs axes principaux.

Le but de cet exemple est de comparer les résultats en termes de déplacement vertical. La configuration du modèle est illustrée à la figure 5.

Exemple de plaques orthotropesFigure 5. Configuration du modèle. Orthotrope (la gauche), Isotrope (droite)

Propriétés mécaniques

Basé sur différents rapports de tests de laboratoire, les propriétés orthotropes du panneau sont (Torres Villavicencio et al, 2013):

Propriété Valeur
E1 (MPa) 5613
E2 (MPa) 5613
E3 (MPa) 2807
g12 (MPa) 2245
g23 (MPa) 1123
g13 (MPa) 1123
n12 0.2
n23 0.25
n13 0.25

Tableau n°1. Propriétés mécaniques orthotropes du panneau sandwich

 

Plaques orthotropes

Figure n°6. Axes principaux dans l'élément de panneau (Torres Villavicencio et al, 2013).

Les approximations pour le cas isotrope sont indiquées dans le tableau ci-dessous.

Propriété Valeur
E (MPa) 5613
g (MPa) 2245
n 0.20

Tableau n°2. Approximation des propriétés mécaniques isotropes du panneau sandwich

Modélisation dans SkyCiv

Nous décrivons maintenant de manière très concise les étapes nécessaires pour modéliser l'exemple. (Pour plus de détails dans la modélisation des plaques, consulter ce lien Modélisation de plaques SkyCiv). Je n'ai pas essayé SkyCiv, suivre avec Structural 3D, simplement Inscrivez-vous gratuitement ici.

  1. Nœuds: Pour créer les deux cas, on définit d'abord les nœuds correspondant aux plaques horizontales et verticales.
    Exemple de plaques orthotropes
  2. Matériaux: Comme nous l'avons dit auparavant, les matériaux orthotropes ont des propriétés différentes le long de leurs axes principaux. Les images suivantes indiquent les entrées que nous devons définir pour le modèle.
    Exemple de plaques orthotropes
    Exemple de plaques orthotropes
  3. Plaques: À travers les nœuds du modèle, nous créons les plaques rectangulaires. Deux pour la modélisation verticale des murs et un pour le sol ou la dalle.
    Exemple de plaques orthotropes
  4. Plaques de maillage: SkyCiv a de nombreuses options pour mailler les plaques et peut être consulté dans Maillage de votre assiette . Pour notre modèle, utilisons l'option de maillage de quadrilatères structurés.
    Plaques orthotropes, plaques de maillage
    Plaques orthotropes, plaques de maillage
    Plaques orthotropes, plaques de maillage
  5. Définition du cas de charge de poids propre: Nous ne considérerons cette charge de poids propre que pour capturer le comportement structurel général de la plaque.
    Plaques orthotropes, plaques de maillage
  6. Analyse en cours: Pour exécuter le modèle, nous sélectionnerons le cas d'analyse statique linéaire.
    Plaques orthotropes, plaques de maillage
  7. Résultats: finalement, à ce stade, nous étudions la réponse structurelle pour les deux plaques, le cas isotrope et orthotrope. Pour plus de détails dans la lecture des résultats pour l'analyse des plaques, tu peux regarder cet article Résultats de l'analyse des plaques.
    Plaques orthotropes, plaques de maillage

Plaques orthotropes, plaques de maillage

Pour étudier la réponse des deux cas, nous comparons les résultats de déplacement vertical et de moment de flexion. La plaque orthotrope montre des déflexions plus petites et des moments de flexion plus grands que le cas isotrope. Nous pouvons dire que l'utilisation d'une approche orthotrope nous donnera un élément plus rigide et cela aura un impact sur les résultats globaux et locaux dans une analyse linéaire élastique.

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Références:

  • Chandrupatla, Tirupathi R & Belegundu, Ashok (2012). “Introduction aux éléments finis en ingénierie” 4ème édition, Éducation Pearson.
  • W. Jiang et al (1997). “Modélisation par éléments finis de plaques orthotropes raidies et non raidies”, Des ordinateurs & Structures Vol.63, N°1, pp. 105-117, Elsevier Science Ltd.
  • Torres Villavicencio et al (2013). “travail monographique: Aides à la conception pour les systèmes porteurs EMMEDUE de panneaux en béton armé avec âme en P.E.S. (Système de polystyrène expansé)”. Université nationale d'Ingéniérie.
  • Toutes les images logicielles tirées de Logiciel d'analyse 3D structurelle SkyCiv
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