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Plaques orthotropes: Théorie et exemples

MATÉRIAUX ORTHOTROPES

Avant de passer par une explication des plaques orthotropes, let’s look at some examples of orthotropic materials. Des matériaux tels que les cristaux de topaze et de barytine sont orthotropes (Chandrupatla, 2012). Un autre matériau orthotrope très courant est le bois. Figure 1 montre les axes principaux dans lesquels les propriétés mécaniques sont définies pour le bois.

Plaques orthotropes

Figure 1. Le bois comme matériau orthotrope (Chandrupatla & Belegundu ,2012, page 233)

Axe 1 est défini le long du grain ou des fibres; axe 2 est tangentiel et axe 3 fonctionne radialement. La loi de Hooke généralisée pour cet exemple (et pour tout autre matériau orthotrope) can be written as

Plaques orthotropes

Équations 1. Generalized Hooke’s Law (Chandrupatla & Belegundu,2012, page 233)

Où:

  • e1, e2, e3 are the normal strains.
  • c12, c13, c23 are the shear strains.
  • E1, E2, et E3 sont les modules de Young le long de l'axe principal.
  • g12, g13, g23 sont le module de cisaillement.
  • n21, n31, n12, n32, n23 are the Poisson’s ratios.
  • Pour les indices combinés, le premier chiffre indique où la contrainte est appliquée et le second où se produit la déformation.

Par conséquent, la principale différence dans un matériau orthotrope est que nous avons des propriétés mécaniques différentes le long des axes principaux, C'est, “X”, “et”, “avec”.

PLAQUES ORTHOTROPES

There are some common use cases for assiettes in structural engineering, que nous pouvons résumer comme suit: plat isotrope, composite ou sandwich et raidi (W. Jiang et al, 1997).

Les plaques planes isotropes sont des plaques régulières (figure n°2), il suffit de définir une valeur pour le coefficient de Poisson, Jeune, et le module de cisaillement car les propriétés mécaniques dans toutes les directions ne changent pas.

Plaques orthotropes

Figure n°2. Les plaques plates sont généralement isotropes (W. Jiang et al, 1997, page 106)

Pour les deux dernières options, plaques sandwich et raidies (figure n°3), il faut définir différentes propriétés mécaniques dans leur axe principal. Ces différentes valeurs rendent les plaques orthotropes.

Plaques orthotropes

Figure 3. Composite (la gauche) et plaques raidies chapeau (droite) (W. Jiang et al, 1997, page 106)

Dans une plaque orthotrope, on aurait deux axes avec la même raideur, figure n°3. Les axes "x" et "y" reposent sur un plan, and “z” is perpendicular to it.

On peut dire ça (W. Jiang et al, 1997):

  • EX = Eet Eavec ; (EX, Eet )> Eavec .
  • nxz =nyz ≠nxy ; (nxz, nyz) >nxy
  • gxy = gxz = gyz

Les expressions indiquées précédemment impliquent que la rigidité dans les directions "x" et "y" est supérieure à "z". The Poisson’s ratios also show there is more deformation in planes related to the “z” direction than in a plane formed by the “x” and “y” axis.

EXEMPLE

Description et mise en place

Pour résumer les concepts appris dans les sections précédentes, nous allons développer un exemple dans SkyCiv. Il consiste en l'analyse d'un panneau sandwich mur/dalle qui est construit avec deux couches de béton projeté séparées par une âme en polystyrène. Nous avons choisi la référence suivante pour les propriétés mécaniques à utiliser dans la modélisation: Torres Villavicencio et al. (2013).

Orthotropic Plates Example

Figure 4. Panneau sandwich mur/dalle

Pour capturer la différence d'analyse dans les plaques lorsque nous sélectionnons les options avancées (orthotrope), nous développons une courte comparaison des panneaux sandwich décrits ci-dessus et une approximation de leurs propriétés mécaniques en utilisant une approche isotrope. Le dernier cas utilise des valeurs de propriétés mécaniques qui ne changent pas le long de leurs axes principaux.

Le but de cet exemple est de comparer les résultats en termes de déplacement vertical. La configuration du modèle est illustrée à la figure 5.

Orthotropic Plates ExampleFigure 5. Configuration du modèle. Orthotrope (la gauche), Isotrope (droite)

Propriétés mécaniques

Basé sur différents rapports de tests de laboratoire, les propriétés orthotropes du panneau sont (Torres Villavicencio et al, 2013):

Propriété Valeur
E1 (MPa) 5613
E2 (MPa) 5613
E3 (MPa) 2807
g12 (MPa) 2245
g23 (MPa) 1123
g13 (MPa) 1123
n12 0.2
n23 0.25
n13 0.25

Tableau n°1. Sandwich Panel Orthotropic Mechanical Properties

 

Plaques orthotropes

Figure n°6. Axes principaux dans l'élément de panneau (Torres Villavicencio et al, 2013).

Les approximations pour le cas isotrope sont indiquées dans le tableau ci-dessous.

Propriété Valeur
E (MPa) 5613
g (MPa) 2245
n 0.20

Tableau n°2. Sandwich Panel Isotropic Mechanical Properties Approximation

Modélisation dans SkyCiv

Nous décrivons maintenant de manière très concise les étapes nécessaires pour modéliser l'exemple. (Pour plus de détails dans la modélisation des plaques, consulter ce lien Modélisation de plaques SkyCiv). Haven’t tried SkyCiv, suivre avec Structural 3D, simplement Inscrivez-vous gratuitement ici.

  1. Nœuds: Pour créer les deux cas, on définit d'abord les nœuds correspondant aux plaques horizontales et verticales.
    Orthotropic Plates Example
  2. Matériaux: Comme nous l'avons dit auparavant, les matériaux orthotropes ont des propriétés différentes le long de leurs axes principaux. Les images suivantes indiquent les entrées que nous devons définir pour le modèle.
    Orthotropic Plates Example
    Orthotropic Plates Example
  3. Plaques: À travers les nœuds du modèle, nous créons les plaques rectangulaires. Deux pour la modélisation verticale des murs et un pour le sol ou la dalle.
    Orthotropic Plates Example
  4. Plaques de maillage: SkyCiv a de nombreuses options pour mailler les plaques et peut être consulté dans Maillage de votre assiette . For our model let’s use the option of structured quadrilaterals mesh.
    Plaques orthotropes, meshing plates
    Plaques orthotropes, meshing plates
    Plaques orthotropes, meshing plates
  5. Defining self-weight load case: We’ll only consider this self-weight load to capture the plate general structural behaviour.
    Plaques orthotropes, meshing plates
  6. Analyse en cours: Pour exécuter le modèle, nous sélectionnerons le cas d'analyse statique linéaire.
    Plaques orthotropes, meshing plates
  7. Résultats: finalement, à ce stade, nous étudions la réponse structurelle pour les deux plaques, le cas isotrope et orthotrope. Pour plus de détails dans la lecture des résultats pour l'analyse des plaques, tu peux regarder cet article Résultats de l'analyse des plaques.
    Plaques orthotropes, meshing plates

Plaques orthotropes, meshing plates

To study the response of both cases, we compare vertical displacement and bending moment results. The orthotropic plate shows smaller deflections and larger bending moments than the isotropic case. We can say that using an orthotropic approach will give us a stiffer element and this will impact the global and local results in an elastic linear analysis.

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Références:

  • Chandrupatla, Tirupathi R & Belegundu, Ashok (2012). “Introduction aux éléments finis en ingénierie” 4ème édition, Éducation Pearson.
  • W. Jiang et al (1997). “Modélisation par éléments finis de plaques orthotropes raidies et non raidies”, Des ordinateurs & Structures Vol.63, N°1, pp. 105-117, Elsevier Science Ltd.
  • Torres Villavicencio et al (2013). “travail monographique: Aides à la conception pour les systèmes porteurs EMMEDUE de panneaux en béton armé avec âme en P.E.S. (Système de polystyrène expansé)”. Université nationale d'Ingéniérie.
  • Toutes les images logicielles tirées de Logiciel d'analyse 3D structurelle SkyCiv
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