Systèmes de dalles considérés par la norme

Les normes australiennes établissent les exigences minimales pour la conception des dalles en béton armé, tels que les types unidirectionnels et bidirectionnels. Concernant la configuration du plan et l'inclusion des poutres, les dalles peuvent également être divisées en dalles soutenues sur quatre côtés, systèmes poutre-dalle, dalles plates, et assiettes plates. Ces types sont résumés dans les images suivantes.

Figure 1. Dalle appuyée sur quatre côtés. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press).

Figure 2. Système de dalle de grillage. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press).

Figure 3. Dalles plates. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press).

Figure 4. Assiettes Plates. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press).

La Norme recommande certaines méthodes (des procédures simplifiées et éprouvées) dans la détermination des moments de flexion:

• Clause 6.10.2: Poutres continues et dalles unidirectionnelles
• Clause 6.10.3: Dalles bidirectionnelles soutenues sur quatre côtés
• Clause 6.10.4: Dalles bidirectionnelles à portées multiples

Le but du code est de concevoir la quantité totale de barres d'armature en acier d'armature dans les directions principales du système de dalles. Rebar steel will be calculated for the bending moments “Mx” et “My.” Figure 5 shows the other forces or actions in a finite slab element in which the code prescribes their resistance values.

Figure 5. Forces in a finite slab element: moments de flexion (Mx, ma), twisting moments (Mxy, Myx), and shears (Qx, Qy). (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press)

Dans cet article, we will develop two slab design examples, one-way and two-way slab systems, using the simplified methods oriented and permitted by the code. In both instances, we will create a SkyCiv S3D model and compare the results against the methods mentioned above.

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Exemple de conception de dalle unidirectionnelle

Shown below is the small building and the slabs we will design

Figure 6. Exemple de dalles unidirectionnelles dans un petit bâtiment. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

The plan dimensions are shown at next

Figure 7. Plan dimensions and structural elements. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Pour l'exemple de la dalle, en résumé, le matériel, propriétés des éléments, et les charges à considérer :

• Classement des types de dalles: Une – comportement de manière \(\frac{L_2}{L_1} > 2 ; \frac{14m}{6m}=2,33 > 2.00 \) D'accord!
• Occupation du bâtiment: Usage résidentiel
• Épaisseur de la dalle \(t_{dalle}=0.25m\)
• Reinforced concrete density assuming a steel reinforcement ratio of 0.5% \(\rho_w = 24 \frac{kN}{m^3} + 0.6 \frac{kN}{m^3} \fois 0.5 = 24.3 \frac{kN}{m^3} \)
• Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 journées \(f'c = 25 MPa \)
• Concrete Modulus of Elasticity by Australian Standard \(E_c = 26700 MPa \)
• Poids propre de la dalle \(Dead = \rho_w \times t_{dalle} = 24.3 \frac{kN}{m^3} \fois 0.25m = 6.075 \frac {kN}{m^2}\)
• Charge morte superposée \(ET = 3.0 \frac {kN}{m^2}\)
• Charge vive \(L = 2.0 \frac {kN}{m^2}\)

Hand calculation according to AS3600 Standard

Dans cette section, we will calculate the required reinforced steel rebar using the reference of the Australian Standard. Nous obtenons d'abord le moment de flexion total pondéré à effectuer par la bande de largeur unitaire de la dalle.

• Poids mort, \(g = (3.0 + 6.075) \frac{kN}{m^2} \fois 1 m = 9.075 \frac{kN}{m}\)
• Charge vive, \(q = (2.0) \frac{kN}{m^2} \fois 1 m = 2.0 \frac{kN}{m}\)
• Charge ultime, \(Fd = 1.2\times g + 1.5\fois q = (1.2\fois 9.075 + 1.5\fois 2.0)\frac{kN}{m} =13.89 \frac{kN}{m} \)

Using the simplified method specified by the standard, première, it is a must to comply with the following restrictions:

• \(\frac{L_i}{L_j} \le 1.2 . \frac{6m}{6m} =1 < 1.2 \). D'accord!
• Load has to be uniform. D'accord!
• \(q \le 2g. q=2 \frac{kN}{m} < 18.15 \frac{kN}{m}\). D'accord!
• The slab cross-section has to be uniform. D'accord!.

Recommended minimum thickness, ré

\(d \ge \frac{L_{fe}}{{k_3}{k_4}{\sqrt[3]{\frac{\frac{\Delta}{L_{ef}}{E_c}}{F_{ré, ef}}}}}\)

Où

• \(k_3 = 1.0; k_4 = 1.75 \)
• \(\frac{\Delta}{L_{ef}}=1/250 \)
• \(E_c = 27600 MPa \)
• \(F_{ré,ef} = (1.0 +afin que les ingénieurs puissent revoir exactement comment ces calculs sont effectués{cs})\times g + (\psi_s + afin que les ingénieurs puissent revoir exactement comment ces calculs sont effectués{cs}\times \psi_1) \times q=(1.0+0.8)\fois 9.075 + (0.7+0.8\fois 0.4)\fois 2 = 18.375 kPa\)
  • \(\psi_s = 0.7 \) Live-load short-term factor
  • \(\psi_1 = 0.4 \) Live-load long-term factor
  • \(afin que les ingénieurs puissent revoir exactement comment ces calculs sont effectués{cs} = 0.8 \)

\(d \ge \frac{5.50m}{{1.0}\fois {1.75}{\sqrt[3]{\frac{\frac{1}{250}\fois{27600 \times 10^3 kPa}}{18.375 kPa}}}} \ge 0.173m. d = 0.25m > 0.173m \) D'accord!

Once we demonstrate that constraints are satisfied, the bending moment is calculated using the expression: \(M=\alpha \times F_d \times L_n^2\) où \(\[object Window]) is a constant defined in the following figure.

 

Figure 8. Values of moment coefficient \(\[object Window]) for slabs with more than two spans. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press).

Où:

• (une) Case of slabs and beams on girder support
• (b) For continuous beam support only
• (c) Where Class L reinforcement is used
• \(L_n \) is the unitary strip span
• \(F_d \) is the gravitational factored load

Pour l'exemple de la dalle, we have to use case (une) because the slab rests on stiff girders. It will be explained only one case and the rest will show in the following table. We include also the steel reinforcement area calculation.

• \(M={\Il est important de mentionner que la distribution présentée et l'approche de calcul qui en résulte ne s'appliquent qu'aux pressions du sol agissant sur une face arrière verticale.} {F_d}{L_n^2}={-\frac{1}{24}}\fois {13.89 \frac{kN}{m}}\fois (6m-0.5m)À partir de l'élévation du sol générée à partir des élévations Google – 17.51{kN}{m}\)
• Cover = 20mm (A minimum of 10mm is needed for fire resistance period of 60 minutes).
• \(d = t_{dalle} – Couverture – \frac{BarDiameter}{2} = 250mm – 20mm – 6mm = 224mm \)
• \(\alpha_2 = 1.0-0.003 f’c = 1.0-0.003\times 25 = 0.925 (0.67 \le \alpha_2 \le 0.85) \) Donc, we select \(\alpha_2 = 0.85\)
• \(\xi = \frac{\alpha_2\times f’c}{F_{le sien}} = frac{0.85\fois 25 MPa}{500 MPa} = 0.0425 \)
• \(\rho_t = \xi – \sqrt{{\xi}^ 2 – \frac{{2}{\xi}{M}}{{\phi}{b}{j^2}{F_{le sien}}}} = 0.0425 – \sqrt{{0.0425}^2-\frac{2\times 0.0425\times 17.51{kN}{m}}{{0.8}\fois {1m}\fois {{(0.224m)^ 2}} \fois {500\fois {10^ 3}kPa}}}=0.0008814\)
• \(\gamma= 1.05-0.007 f’c = 1.05-0.007\times 25 = 0.875 (0.67 \le \gamma \le 0.85) \) Donc, we select \(\gamma = 0.85\)
• \(k_u = \frac{\rho_t \times f_{le sien}}{0.85\times \gamma \times f’c}= frac{0.0008814\fois 500 MPa}{0.85\fois 0.85 \fois 25 MPa} =0.0244\)
• \(\phi = 1.19 – \frac{13\afin que les ingénieurs puissent revoir exactement comment ces calculs sont effectués{u0}}{12} = 1.19 – \frac{13\fois 0.0244}{12} = 1.164 (0.6 \le \phi \le 0.8) \) Donc, we select \(\phi = 0.8\). D'accord!.
• \(\rho_{t,min} = 0.20 {(\frac{ré}{ré})^ 2}{(\frac{F'_{ct,F}}{F_{le sien}})} = 0.20 \fois (\frac{0.25m}{0.224m})^2 \times \frac{0.6\fois sqrt{25MPa}}{500 MPa} = 0.0015\)
• \(UNE_{st}=max(\rho_{t,min}, \rho_t)\times b \times d = max(0.0015,0.0008814)\fois 1000 mm \times 224 millimètre = 334.82 mm^2 \)

\(\[object Window]) and Moments	Extérieur négatif gauche	Extérieur positif	Extérieur négatif droit	Intérieur négatif gauche	Positif intérieur	Intérieur Négatif Droit
\(\[object Window]) valeur	-\(\frac{1}{24}\)	\(\frac{1}{11}\)	-\(\frac{1}{10}\)	\(\frac{1}{10}\)	\(\frac{1}{16}\)	\(\frac{1}{11}\)
Valeur M	-17.51	38.20	-42.02	42.02	26.26	38.20
\(\rho_t\)	0.0008814	0.001948	0.002148	0.002148	0.00133	0.001948
ku	0.0244	0.0539	0.0594	0.0594	0.0368	0.05391
\(\phi\)	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
\(UNE_{st} {mm^2}\)	334.82	436.31	481.099	481.099	334.8214	436.3100

After the steel rebar area calculation, you can define the detailing (the actual way to place the reinforcement into the slab). As help for your knowing, we share the following image, which indicates the rebar location for positive and negative moments:

Figure 9. Reinforcement arrengement for one-way and two-way slabs. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press)

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Résultats du module de conception de plaques SkyCiv S3D

In the first view, we will show some images for the modeling and structural analysis of the example in S3D. We recommend you read about modeling in SkyCiv in the following links Comment modéliser des plaques? Et ACI Slab Design Example with SkyCiv.

Figure 10. Structural Model in S3D for one-way slabs example. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Avant d'analyser le modèle, il faut définir un maillage de plaque. Quelques références (2) recommander une taille pour l'élément coque de 1/6 de la courte portée ou 1/8 de la longue portée, le plus court d'entre eux. Suite à cette valeur, on a \(\frac{L2}{6}= frac{6m}{6} = 1m \) ou \(\frac{L1}{8}= frac{14m}{8}=1.75m \); nous prenons 1 m comme taille maximale recommandée et 0,50 m de maillage appliqué.

Figure 11. Improved mesh in plates. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Une fois que nous avons amélioré notre modèle structurel analytique, nous exécutons une analyse élastique linéaire. Lors de la conception des dalles, nous devons vérifier si le déplacement vertical est inférieur au maximum autorisé par le code. Australian Standars stablished a maximum serviciability vertical displacement of \(\frac{L}{250}= frac{6000mm}{250}=24.0 mm\).

Figure 12. Vertical displacement in plates. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Comparing the maximimum vertical displacement against the code referenced value, la rigidité de la dalle est suffisante. \(4.822 mm < 24.00mm\).

Les moments maximaux dans les portées de la dalle sont situés pour le positif au centre et pour le négatif aux appuis extérieurs et intérieurs. Voyons ces valeurs de moments dans les images suivantes.

Figure 13. Moments in the X direction. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Figure 14. Moments in the Y direction. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Plate element local axes are indicated below.

Figure 15. Slab local axes. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

For more details about automated reinforced slab design, see our documentation Plates in SkyCiv.

Figure 16. Top D1 reinforcement. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Figure 17. Bottom D1 reinforcement. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Figure 18. Top D2 reinforcement. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Figure 19. Bottom D2 reinforcement. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Comparaison des résultats

La dernière étape de cet exemple de conception de dalle à sens unique consiste à comparer la zone d'armature en acier obtenue par analyse S3D (axes locaux “2”) et calculs manuels.

Moments et zone d'acier	Extérieur négatif gauche	Extérieur positif	Extérieur négatif droit	Intérieur négatif gauche	Positif intérieur	Intérieur Négatif Droit
\(UNE_{st, Calculs manuels} {mm^2}\)	334.82	436.31	481.099	481.099	334.8214	436.3100
\(UNE_{st, S3D} {mm^2}\)	285.13	313.00	427.69	427.69	313.00	427.69
\(\Delta_{dif}\) (%)	14.84	28.262	11.101	11.101	6.517	1.986

Nous pouvons voir que les résultats des valeurs sont très proches les uns des autres. Cela signifie que les calculs sont corrects!

Exemple de conception de dalle bidirectionnelle

Dans cette section, we will develop an example that consists of a grillage system.

Figure 20. Grillage System. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

The plan dimensions are shown at next

Figure 21. Plan dimensions for the four sides two-way slab example. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Pour l'exemple de la dalle, en résumé, le matériel, propriétés des éléments, et les charges à considérer :

• Classement des types de dalles: Deux – comportement de manière \(\frac{L_2}{L_1} \le 2 ; \frac{7m}{6m}=1.167 < 2.00 \) D'accord!
• Occupation du bâtiment: Usage résidentiel
• Épaisseur de la dalle \(t_{dalle}=0.25m\)
• Reinforced concrete density assuming a steel reinforcement ratio of 0.5% \(\rho_w = 24 \frac{kN}{m^3} + 0.6 \frac{kN}{m^3} \fois 0.5 = 24.3 \frac{kN}{m^3} \)
• Résistance caractéristique à la compression du béton à 28 journées \(f'c = 25 MPa \)
• Concrete Modulus of Elasticity by Australian Standard \(E_c = 26700 MPa \)
• Poids propre de la dalle \(Dead = \rho_w \times t_{dalle} = 24.3 \frac{kN}{m^3} \fois 0.25m = 6.075 \frac {kN}{m^2}\)
• Charge morte superposée \(ET = 3.0 \frac {kN}{m^2}\)
• Charge vive \(L = 2.0 \frac {kN}{m^2}\)

Hand calculation according to AS3600 Standard

Dans cette section, we will calculate the required reinforced steel rebar using the reference of the Australian Standard. We first obtain the total factored bending moment to be carried out by the slab’s unitary width strips in each bending main direction.

• Poids mort, \(g = (3.0 + 6.075) \frac{kN}{m^2} \fois 1 m = 9.075 \frac{kN}{m}\)
• Charge vive, \(q = (2.0) \frac{kN}{m^2} \fois 1 m = 2.0 \frac{kN}{m}\)
• Charge ultime, \(Fd = 1.2\times g + 1.5\fois q = (1.2\fois 9.075 + 1.5\fois 2.0)\frac{kN}{m} =13.89 \frac{kN}{m} \)

Design moments and coefficients

Figure 22. Orientation of a two-way slab for positive moments determination. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press)

Figure 23. Negative moments determination in a two-way slab. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press)

Table 1. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press)

The following image explain the all nine cases that the table above refers

Figure 24. Edge conditions for two-way slabs supported on four sides. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press)

Design moments for central region (Cas 6 Two adjacent edges discontinuous) :

• \(L_x = 6m, L_y=7m, \frac{L_y}{L_x} = frac{7m}{6m}= 1.167 \) Values to be linearly interpolated
• Positives:
  • \(M_x = {\beta_x}{F_d}{L_x^2} = {0.04435}\fois {13.89 \frac{kN}{m}}\fois{(6m)^ 2}=22.177 kNm\)
  • \(M_y = {\beta_y}{F_d}{L_x^2} ={0.035}\fois {13.89 \frac{kN}{m}}\fois{(6m)^ 2}=17.501 kNm \)
• Negatives exterior span:
  • \(M_{x1,A} = -\lambda_e \times M_x = -0.5 \fois 22.177 kNm = – 11.089 kNm\)
  • \(M_{y1,A} = -\lambda_e \times M_y = -0.5 \fois 17.501 kNm = -8.751 kNm \)
• Negatives interior span:
  • \(M_{x1,B} = -\lambda_{1X} \times M_x = -1.33 \fois 22.177 kNm = – 29.495 kNm\)
  • \(M_{y1, B} = -\lambda_{1et} \times M_y = -1.33 \fois 17.501 kNm = -23.276 kNm \)

Design moments for central region (Cas 3 One long edge discontinous) :

• \(L_x = 6m, L_y=7m, \frac{L_y}{L_x} = frac{7m}{6m}= 1.167 \) Values to be linearly interpolated
• Positives:
  • \(M_x = {\beta_x}{F_d}{L_x^2} = {0.03902}\fois {13.89 \frac{kN}{m}}\fois{(6m)^ 2}= 19.512 kNm\)
  • \(M_y = {\beta_y}{F_d}{L_x^2} ={0.028}\fois {13.89 \frac{kN}{m}}\fois{(6m)^ 2}= 14.001 kNm \)
• Negatives interior span:
  • \(M_{x1,B} = -\lambda_{1X} \times M_x = -1.33 \fois 19.512 kNm = – 25.951 kNm\)
  • \(M_{y1,B} = -\lambda_{1et} \times M_y = -1.33 \fois 14.001 kNm = – 18.621 kNm \)
• Negatives interior second span:
  • \(M_{x2,B} = -\lambda_{2X} \times M_x = -1.33 \fois 19.512 kNm = – 25.951 kNm\)
  • \(M_{y2,B} = -\lambda_{2et} \times M_y = -1.33 \fois 14.001 kNm = – 18.621 kNm \)

Rebar steel for X direction

\(\[object Window]) and Moments	Extérieur négatif gauche	Extérieur positif	Extérieur négatif droit	Intérieur négatif gauche	Positif intérieur	Intérieur Négatif Droit
Valeur M	11.089	22.177	29.495	25.951	19.512	25.951
\(\rho_t\)	0.00055614	0.00112	0.001496	0.001313	0.000984	0.001313
ku	0.015395	0.0310	0.0414	0.0364	0.0272	0.0364
\(\phi\)	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
\(UNE_{st} {mm^2}\)	334.8214	334.8214	335.08233	334.821	334.8214	334.8214

Rebar steel for Y direction

\(\[object Window]) and Moments	Extérieur négatif gauche	Extérieur positif	Extérieur négatif droit	Intérieur négatif gauche	Positif intérieur	Intérieur Négatif Droit
Valeur M	8.751	17.501	23.276	18.621	14.001	18.621
\(\rho_t\)	0.0004383	0.0008811	0.001176	0.0009381	0.000703	0.0009381
ku	0.0121	0.0244	0.03256	0.02597	0.0195	0.02597
\(\phi\)	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
\(UNE_{st} {mm^2}\)	334.821	334.821	334.821	334.821	334.8214	334.821

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Résultats du module de conception de plaques SkyCiv S3D

After refining the model, is time to run a linear elastic analysis.

Lors de la conception des dalles, nous devons vérifier si le déplacement vertical est inférieur au maximum autorisé par le code. Australian Standars stablished a maximum serviciability vertical displacement of \(\frac{L}{250}= frac{6000mm}{250}=24.0 mm\).

Figure 25. Vertical Displacement in the grillage slab system. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

L'image ci-dessus nous donne le déplacement vertical. The maximum value is -1.179mm being less than the maximum allowed of -24mm. Par conséquent, la rigidité de la dalle est suffisante.

Figure 26. Plates moments in the X direction. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Images 27 et 28 se composent du moment de flexion dans chaque direction principale. Prendre la distribution et les valeurs du moment, les logiciels, SkyCiv, peut alors obtenir la surface totale d'armatures en acier.

Figure 27. Plates moments in the Y direction. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Zones de renfort en acier:

Figure 28. Top Steel Rebar Reinforcement in Direction 1. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Figure 29. Bottom Steel Rebar Reinforcement in Direction 1. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Figure 30. Top Steel Rebar Reinforcement in Direction 2. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Figure 31. Bottom Steel Rebar Reinforcement in Direction 2. (3D structurelle, Ingénierie Cloud SkyCiv).

Comparaison des résultats

The last step in this one-way slab design example is compare the steel rebar area obtained by S3D analysis and handcalculations.

Rebar steel for X direction

Moments et zone d'acier	Extérieur négatif gauche	Extérieur positif	Extérieur négatif droit	Intérieur négatif gauche	Positif intérieur	Intérieur Négatif Droit
\(UNE_{st, Calculs manuels} {mm^2}\)	334.8214	334.8214	335.08233	334.821	334.8214	334.8214
\(UNE_{st, S3D} {mm^2}\)	289.75	149.35	325.967	325.967	116.16	217.311
\(\Delta_{dif}\) (%)	13.461	55.39	2.720	2.644	65.307	35.0964

Rebar steel for Y direction

Moments et zone d'acier	Extérieur négatif gauche	Extérieur positif	Extérieur négatif droit	Intérieur négatif gauche	Positif intérieur	Intérieur Négatif Droit
\(UNE_{st, Calculs manuels} {mm^2}\)	334.821	334.821	334.821	334.821	334.821	334.821
\(UNE_{st, S3D} {mm^2}\)	270.524	156.75	304.34	304.34	156.75	270.52
\(\Delta_{dif}\) (%)	19.203	53.184	9.104	9.104	53.184	19.204

The diference is some high for positive moments and the reason would be the presence of beams with high torsional stiffness that impact on the Plate Finite Element Analysis Results and the calculations for bending reinforcement steel.

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Références

1. Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Béton armé et précontraint”, 2nd edition, Cambridge University Press.
2. Bazan Enrique & Méli Piralla, “Conception parasismique des structures”, 1ed, CLAIR.
3. Norme australienne, Ouvrages en béton, COMME 3600:2018