Sistemas de lajes considerados pela norma

As normas australianas estabelecem os requisitos mínimos para o projeto de lajes de concreto armado, como tipos unidirecionais e bidirecionais. Sobre a configuração do plano e a inclusão de vigas, as lajes também podem ser divididas em lajes apoiadas em quatro lados, sistemas de vigas e lajes, lajes planas, e placas planas. Esses tipos estão resumidos nas imagens a seguir.

Figura 1. Laje apoiada nos quatro lados. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press).

Figura 2. Sistema de laje de grelha. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press).

Figura 3. Lajes Planas. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press).

Figura 4. Placas Planas. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press).

A Norma recomenda alguns métodos (procedimentos simplificados e comprovados) na determinação dos momentos fletores:

• Cláusula 6.10.2: Vigas contínuas e lajes unidirecionais
• Cláusula 6.10.3: Lajes bidirecionais apoiadas nos quatro lados
• Cláusula 6.10.4: Lajes de duas vias com vários vãos

O objetivo do código é projetar a quantidade total de vergalhões de aço de reforço nas direções principais no sistema de laje. Rebar steel will be calculated for the bending moments “Mx” e “My.” Figura 5 shows the other forces or actions in a finite slab element in which the code prescribes their resistance values.

Figura 5. Forces in a finite slab element: momentos de flexão (Mx, Minhas), twisting moments (Mxy, Myx), and shears (Qx, Qy). (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press)

Neste artigo, we will develop two slab design examples, one-way and two-way slab systems, using the simplified methods oriented and permitted by the code. In both instances, we will create a SkyCiv S3D model and compare the results against the methods mentioned above.

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Exemplo de projeto de laje unidirecional

Shown below is the small building and the slabs we will design

Figura 6. Exemplo de lajes unidirecionais em um pequeno edifício. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

The plan dimensions are shown at next

Figura 7. Plan dimensions and structural elements. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Para o exemplo de laje, resumindo, o material, propriedades dos elementos, e cargas a considerar :

• Classificação do tipo de laje: Um – comportamento de maneira \(\fratura{L_2}{L_1} > 2 ; \fratura{14m}{6m}=2,33 > 2.00 \) OK!
• ocupação do edifício: Uso residencial
• Espessura da laje \(t_{laje}=0.25m\)
• Reinforced concrete density assuming a steel reinforcement ratio of 0.5% \(\rho_w = 24 \fratura{kN}{m^3} + 0.6 \fratura{kN}{m^3} \vezes 0.5 = 24.3 \fratura{kN}{m^3} \)
• Resistência à compressão característica do concreto em 28 dias \(f’c = 25 MPa \)
• Concrete Modulus of Elasticity by Australian Standard \(E_c = 26700 MPa \)
• Peso próprio da laje \(Dead = \rho_w \times t_{laje} = 24.3 \fratura{kN}{m^3} \vezes 0,25m = 6.075 \fratura {kN}{m^2}\)
• Carga morta superimposta \(SD = 3.0 \fratura {kN}{m^2}\)
• Carga viva \(L = 2.0 \fratura {kN}{m^2}\)

Hand calculation according to AS3600 Standard

Nesta secção, we will calculate the required reinforced steel rebar using the reference of the Australian Standard. Primeiro obtemos o momento fletor fatorado total a ser realizado pela faixa de largura unitária da laje.

• Carga morta, \(g = (3.0 + 6.075) \fratura{kN}{m^2} \vezes 1 m = 9.075 \fratura{kN}{m}\)
• Carga viva, \(q = (2.0) \fratura{kN}{m^2} \vezes 1 m = 2.0 \fratura{kN}{m}\)
• carga final, \(Fd = 1.2\times g + 1.5\vezes q = (1.2\vezes 9.075 + 1.5\vezes 2.0)\fratura{kN}{m} =13.89 \frac{kN}{m} \)

Using the simplified method specified by the standard, primeiro, it is a must to comply with the following restrictions:

• \(\fratura{L_i}{L_j} \a 1.2 . \fratura{6m}{6m} A seguir estão as diferentes maneiras de determinar os coeficientes de pressão de terra para calcular a resistência ao atrito unitária de estacas em areia < 1.2 \). OK!
• Load has to be uniform. OK!
• \(q \le 2g. q=2 \frac{kN}{m} < 18.15 \fratura{kN}{m}\). OK!
• The slab cross-section has to be uniform. OK!.

Recommended minimum thickness, d

\(d \ge \frac{EU_{fe}}{{k_3}{k_4}{\sqrt[3]{\fratura{\fratura{\Delta}{EU_{ef}}{E_c}}{F_{d, ef}}}}}\)

Onde

• \(k_3 = 1.0; k_4 = 1.75 \)
• \(\fratura{\Delta}{EU_{ef}}=1/250 \)
• \(E_c = 27600 MPa \)
• \(F_{d,ef} = (1.0 +inclui cálculos detalhados passo a passo{cs})\times g + (\psi_s + inclui cálculos detalhados passo a passo{cs}\times \psi_1) \times q=(1.0+0.8)\vezes 9.075 + (0.7+0.8\vezes 0.4)\vezes 2 = 18.375 kPa )
  • \(\psi_s = 0.7 \) Live-load short-term factor
  • \(\psi_1 = 0.4 \) Live-load long-term factor
  • \(inclui cálculos detalhados passo a passo{cs} = 0.8 \)

\(d \ge \frac{5.50m}{{1.0}\vezes {1.75}{\sqrt[3]{\fratura{\fratura{1}{250}\vezes{27600 \times 10^3 kPa}}{18.375 kPa }}}} \ge 0.173m. d = 0.25m > 0.173m \) OK!

Once we demonstrate that constraints are satisfied, the bending moment is calculated using the expression: \(M=\alpha \times F_d \times L_n^2\) Onde \(\alpha\) is a constant defined in the following figure.

 

Figura 8. Values of moment coefficient \(\alpha\) for slabs with more than two spans. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press).

Onde:

• (uma) Case of slabs and beams on girder support
• (b) For continuous beam support only
• (c) Where Class L reinforcement is used
• \(L_n \) is the unitary strip span
• \(F_d \) is the gravitational factored load

Para o exemplo de laje, we have to use case (uma) because the slab rests on stiff girders. It will be explained only one case and the rest will show in the following table. We include also the steel reinforcement area calculation.

• \(M={\alfa} {F_d}{L_n^2}={-\fratura{1}{24}}\vezes {13.89 \fratura{kN}{m}}\vezes (6m-0.5m)A partir da elevação do solo gerada a partir das elevações do Google – 17.51{kN}{m}\)
• Cover = 20mm (A minimum of 10mm is needed for fire resistance period of 60 minutos).
• \(d = t_{laje} – Cobrir – \fratura{BarDiameter}{2} = 250mm – 20milímetros – 6mm = 224mm \)
• \(\alpha_2 = 1.0-0.003 f’c = 1.0-0.003\times 25 = 0.925 (0.67 \le \alpha_2 \le 0.85) \) Por isso, we select \(\alpha_2 = 0.85\)
• \(\xi = \frac{\alpha_2\times f’c}{f_{seu}} = frac{0.85\vezes 25 MPa}{500 MPa} = 0.0425 \)
• \(\rho_t = \xi – \sqrt{{\XI}^ 2 – \fratura{{2}{\XI}{M}}{{\phi}{b}{d^2}{f_{seu}}}} = 0.0425 – \sqrt{{0.0425}^2-\frac{2\times 0.0425\times 17.51{kN}{m}}{{0.8}\vezes {1m}\vezes {{(0.224m)^ 2}} \vezes {500\vezes {10^ 3}kPa }}}=0.0008814\)
• \(\gamma= 1.05-0.007 f’c = 1.05-0.007\times 25 = 0.875 (0.67 \le \gamma \le 0.85) \) Por isso, we select \(\gamma = 0.85\)
• \(k_u = \frac{\rho_t \times f_{seu}}{0.85\times \gamma \times f’c}= frac{0.0008814\vezes 500 MPa}{0.85\vezes 0.85 \vezes 25 MPa} =0.0244\)
• \(\phi = 1.19 – \fratura{13\inclui cálculos detalhados passo a passo{u0}}{12} = 1.19 – \fratura{13\vezes 0.0244}{12} = 1.164 (0.6 \le \phi \le 0.8) \) Por isso, we select \(\phi = 0.8\). OK!.
• \(\rho_{t,min} = 0.20 {(\fratura{D}{d})^ 2}{(\fratura{f’_{ct,f}}{f_{seu}})} = 0.20 \vezes (\fratura{0.25m}{0.224m})^2 \times \frac{0.6\times sqrt{25MPa}}{500 MPa} = 0.0015\)
• \(UMA_{st}=max(\rho_{t,min}, \rho_t)\times b \times d = max(0.0015,0.0008814)\vezes 1000 mm \times 224 mm = 334.82 mm^2 \)

\(\alpha\) and Moments	Exterior Negativo Esquerda	Exterior Positivo	Direita Negativa Externa	Interior Negativo Esquerda	Interior Positivo	Direito Negativo Interior
\(\alpha\) valor	-\(\fratura{1}{24}\)	\(\fratura{1}{11}\)	-\(\fratura{1}{10}\)	\(\fratura{1}{10}\)	\(\fratura{1}{16}\)	\(\fratura{1}{11}\)
valor M	-17.51	38.20	-42.02	42.02	26.26	38.20
\(\rho_t\)	0.0008814	0.001948	0.002148	0.002148	0.00133	0.001948
ku	0.0244	0.0539	0.0594	0.0594	0.0368	0.05391
\(\phi\)	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
\(UMA_{st} {mm^2}\)	334.82	436.31	481.099	481.099	334.8214	436.3100

After the steel rebar area calculation, you can define the detailing (the actual way to place the reinforcement into the slab). As help for your knowing, we share the following image, which indicates the rebar location for positive and negative moments:

Figura 9. Reinforcement arrengement for one-way and two-way slabs. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press)

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Resultados do Módulo de Projeto de Placa SkyCiv S3D

In the first view, we will show some images for the modeling and structural analysis of the example in S3D. We recommend you read about modeling in SkyCiv in the following links Como modelar placas? E ACI Slab Design Example with SkyCiv.

Figura 10. Structural Model in S3D for one-way slabs example. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Antes de analisar o modelo, devemos definir um tamanho de malha de placa. Algumas referências (2) recomendar um tamanho para o elemento shell de 1/6 do curto espaço ou 1/8 do longo vão, o mais curto deles. Seguindo este valor, temos \(\fratura{L2}{6}= frac{6m}{6} = 1 m \) ou \(\fratura{L1}{8}= frac{14m}{8}=1,75m \); tomamos 1m como tamanho máximo recomendado e 0,50m de tamanho de malha aplicado.

Figura 11. Improved mesh in plates. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Uma vez que melhoramos nosso modelo estrutural analítico, executamos uma análise elástica linear. Ao projetar lajes, temos que verificar se os deslocamentos verticais são menores que o máximo permitido pelo código. Australian Standars stablished a maximum serviciability vertical displacement of \(\fratura{eu}{250}= frac{6000milímetros}{250}=24.0 mm\).

Figura 12. Vertical displacement in plates. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Comparing the maximimum vertical displacement against the code referenced value, a rigidez da laje é adequada. \(4.822 milímetros < 24.00mm\).

Os momentos máximos nos vãos da laje situam-se para positivo no centro e para negativo nos apoios exteriores e interiores. Vamos ver os valores desses momentos nas imagens a seguir.

Figura 13. Moments in the X direction. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Figura 14. Moments in the Y direction. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Plate element local axes are indicated below.

Figura 15. Slab local axes. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

For more details about automated reinforced slab design, see our documentation Plates in SkyCiv.

Figura 16. Top D1 reinforcement. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Figura 17. Bottom D1 reinforcement. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Figura 18. Top D2 reinforcement. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Figura 19. Bottom D2 reinforcement. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Comparação de resultados

A última etapa neste exemplo de projeto de laje unidirecional é comparar a área do vergalhão de aço obtida pela análise S3D (eixos locais “2”) e cálculos manuais.

Momentos e área de aço	Exterior Negativo Esquerda	Exterior Positivo	Direita Negativa Externa	Interior Negativo Esquerda	Interior Positivo	Direito Negativo Interior
\(UMA_{st, HandCalcs} {mm^2}\)	334.82	436.31	481.099	481.099	334.8214	436.3100
\(UMA_{st, S3D} {mm^2}\)	285.13	313.00	427.69	427.69	313.00	427.69
\(\Delta_{diferente}\) (%)	14.84	28.262	11.101	11.101	6.517	1.986

Podemos ver que os resultados dos valores são muito próximos uns dos outros. Isso significa que os cálculos estão corretos!

Exemplo de projeto de laje de duas vias

Nesta secção, we will develop an example that consists of a grillage system.

Figura 20. Grillage System. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

The plan dimensions are shown at next

Figura 21. Plan dimensions for the four sides two-way slab example. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Para o exemplo de laje, resumindo, o material, propriedades dos elementos, e cargas a considerar :

• Classificação do tipo de laje: Dois – comportamento de maneira \(\fratura{L_2}{L_1} \a 2 ; \fratura{7m}{6m}=1.167 < 2.00 \) OK!
• ocupação do edifício: Uso residencial
• Espessura da laje \(t_{laje}=0.25m\)
• Reinforced concrete density assuming a steel reinforcement ratio of 0.5% \(\rho_w = 24 \fratura{kN}{m^3} + 0.6 \fratura{kN}{m^3} \vezes 0.5 = 24.3 \fratura{kN}{m^3} \)
• Resistência à compressão característica do concreto em 28 dias \(f’c = 25 MPa \)
• Concrete Modulus of Elasticity by Australian Standard \(E_c = 26700 MPa \)
• Peso próprio da laje \(Dead = \rho_w \times t_{laje} = 24.3 \fratura{kN}{m^3} \vezes 0,25m = 6.075 \fratura {kN}{m^2}\)
• Carga morta superimposta \(SD = 3.0 \fratura {kN}{m^2}\)
• Carga viva \(L = 2.0 \fratura {kN}{m^2}\)

Hand calculation according to AS3600 Standard

Nesta secção, we will calculate the required reinforced steel rebar using the reference of the Australian Standard. We first obtain the total factored bending moment to be carried out by the slab’s unitary width strips in each bending main direction.

• Carga morta, \(g = (3.0 + 6.075) \fratura{kN}{m^2} \vezes 1 m = 9.075 \fratura{kN}{m}\)
• Carga viva, \(q = (2.0) \fratura{kN}{m^2} \vezes 1 m = 2.0 \fratura{kN}{m}\)
• carga final, \(Fd = 1.2\times g + 1.5\vezes q = (1.2\vezes 9.075 + 1.5\vezes 2.0)\fratura{kN}{m} =13.89 \frac{kN}{m} \)

Design moments and coefficients

Figura 22. Orientation of a two-way slab for positive moments determination. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press)

Figura 23. Negative moments determination in a two-way slab. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press)

Mesa 1. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press)

The following image explain the all nine cases that the table above refers

Figura 24. Edge conditions for two-way slabs supported on four sides. (Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press)

Design moments for central region (Caso 6 Two adjacent edges discontinuous) :

• \(L_x = 6m, L_y=7m, \fratura{L_y}{L_x} = frac{7m}{6m}= 1.167 \) Values to be linearly interpolated
• Positives:
  • \(M_x = {\beta_x}{F_d}{L_x^2} = {0.04435}\vezes {13.89 \fratura{kN}{m}}\vezes{(6m)^ 2}=22.177 kNm\)
  • \(M_y = {\beta_y}{F_d}{L_x^2} ={0.035}\vezes {13.89 \fratura{kN}{m}}\vezes{(6m)^ 2}=17.501 kNm \)
• Negatives exterior span:
  • \(M_{x1,A} = -\lambda_e \times M_x = -0.5 \vezes 22.177 kNm = – 11.089 kNm\)
  • \(M_{y1,A} = -\lambda_e \times M_y = -0.5 \vezes 17.501 kNm = -8.751 kNm \)
• Negatives interior span:
  • \(M_{x1,B} = -\lambda_{1x} \times M_x = -1.33 \vezes 22.177 kNm = – 29.495 kNm\)
  • \(M_{y1, B} = -\lambda_{1Y} \times M_y = -1.33 \vezes 17.501 kNm = -23.276 kNm \)

Design moments for central region (Caso 3 One long edge discontinous) :

• \(L_x = 6m, L_y=7m, \fratura{L_y}{L_x} = frac{7m}{6m}= 1.167 \) Values to be linearly interpolated
• Positives:
  • \(M_x = {\beta_x}{F_d}{L_x^2} = {0.03902}\vezes {13.89 \fratura{kN}{m}}\vezes{(6m)^ 2}= 19.512 kNm\)
  • \(M_y = {\beta_y}{F_d}{L_x^2} ={0.028}\vezes {13.89 \fratura{kN}{m}}\vezes{(6m)^ 2}= 14.001 kNm \)
• Negatives interior span:
  • \(M_{x1,B} = -\lambda_{1x} \times M_x = -1.33 \vezes 19.512 kNm = – 25.951 kNm\)
  • \(M_{y1,B} = -\lambda_{1Y} \times M_y = -1.33 \vezes 14.001 kNm = – 18.621 kNm \)
• Negatives interior second span:
  • \(M_{x2,B} = -\lambda_{2x} \times M_x = -1.33 \vezes 19.512 kNm = – 25.951 kNm\)
  • \(M_{y2,B} = -\lambda_{2Y} \times M_y = -1.33 \vezes 14.001 kNm = – 18.621 kNm \)

Rebar steel for X direction

\(\alpha\) and Moments	Exterior Negativo Esquerda	Exterior Positivo	Direita Negativa Externa	Interior Negativo Esquerda	Interior Positivo	Direito Negativo Interior
valor M	11.089	22.177	29.495	25.951	19.512	25.951
\(\rho_t\)	0.00055614	0.00112	0.001496	0.001313	0.000984	0.001313
ku	0.015395	0.0310	0.0414	0.0364	0.0272	0.0364
\(\phi\)	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
\(UMA_{st} {mm^2}\)	334.8214	334.8214	335.08233	334.821	334.8214	334.8214

Rebar steel for Y direction

\(\alpha\) and Moments	Exterior Negativo Esquerda	Exterior Positivo	Direita Negativa Externa	Interior Negativo Esquerda	Interior Positivo	Direito Negativo Interior
valor M	8.751	17.501	23.276	18.621	14.001	18.621
\(\rho_t\)	0.0004383	0.0008811	0.001176	0.0009381	0.000703	0.0009381
ku	0.0121	0.0244	0.03256	0.02597	0.0195	0.02597
\(\phi\)	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8
\(UMA_{st} {mm^2}\)	334.821	334.821	334.821	334.821	334.8214	334.821

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Resultados do Módulo de Projeto de Placa SkyCiv S3D

After refining the model, is time to run a linear elastic analysis.

Ao projetar lajes, temos que verificar se os deslocamentos verticais são menores que o máximo permitido pelo código. Australian Standars stablished a maximum serviciability vertical displacement of \(\fratura{eu}{250}= frac{6000milímetros}{250}=24.0 mm\).

Figura 25. Vertical Displacement in the grillage slab system. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

A imagem acima nos dá o deslocamento vertical. The maximum value is -1.179mm being less than the maximum allowed of -24mm. Portanto, a rigidez da laje é adequada.

Figura 26. Plates moments in the X direction. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Imagens 27 e 28 consistem no momento fletor em cada direção principal. Tomando a distribuição de momento e valores, o software, SkyCiv, pode-se obter então a área total da armadura de aço.

Figura 27. Plates moments in the Y direction. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Áreas de reforço de aço:

Figura 28. Top Steel Rebar Reinforcement in Direction 1. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Figura 29. Bottom Steel Rebar Reinforcement in Direction 1. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Figura 30. Top Steel Rebar Reinforcement in Direction 2. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Figura 31. Bottom Steel Rebar Reinforcement in Direction 2. (3D estrutural, Engenharia de Nuvem SkyCiv).

Comparação de resultados

The last step in this one-way slab design example is compare the steel rebar area obtained by S3D analysis and handcalculations.

Rebar steel for X direction

Momentos e área de aço	Exterior Negativo Esquerda	Exterior Positivo	Direita Negativa Externa	Interior Negativo Esquerda	Interior Positivo	Direito Negativo Interior
\(UMA_{st, HandCalcs} {mm^2}\)	334.8214	334.8214	335.08233	334.821	334.8214	334.8214
\(UMA_{st, S3D} {mm^2}\)	289.75	149.35	325.967	325.967	116.16	217.311
\(\Delta_{diferente}\) (%)	13.461	55.39	2.720	2.644	65.307	35.0964

Rebar steel for Y direction

Momentos e área de aço	Exterior Negativo Esquerda	Exterior Positivo	Direita Negativa Externa	Interior Negativo Esquerda	Interior Positivo	Direito Negativo Interior
\(UMA_{st, HandCalcs} {mm^2}\)	334.821	334.821	334.821	334.821	334.821	334.821
\(UMA_{st, S3D} {mm^2}\)	270.524	156.75	304.34	304.34	156.75	270.52
\(\Delta_{diferente}\) (%)	19.203	53.184	9.104	9.104	53.184	19.204

The diference is some high for positive moments and the reason would be the presence of beams with high torsional stiffness that impact on the Plate Finite Element Analysis Results and the calculations for bending reinforcement steel.

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Referências

1. Yew-Chaye Loo & Sanual Hug Chowdhury , “Concreto Armado e Protendido”, 2nd edition, Cambridge University Press.
2. Bazan Enrique & Meli Piralla, “Projeto Sísmico de Estruturas”, 1ed, CLARO.
3. Padrão Australiano, Estruturas de concreto, COMO 3600:2018