No projeto de conexão de aço, parafusos are usually designed as a bolt group that acts as one body to resist a given load. The strength of a bolt group is normally set by the controlling strength of its most critical bolt. As cargas diretas são distribuídas entre o número total de parafusos, while the induced moment due to the load eccentricity is distributed in relation to the bolt group’s moment of inertia and distance from the centroid. This is called elastic analysis. Because of its simplified and conservative assumptions about load distribution, muitas vezes produz conexões aparafusadas superdimensionadas.
When talking about value engineering and economical designs, the inelastic approach is preferred by most fabricators. It requires fewer bolts for the same magnitude of load. Para fazer a abordagem inelástica, the instantaneous centre of rotation (ICOR) método usando iterações é a melhor maneira.
Neste artigo, we demonstrate how to calculate the strength of a conexão parafusada usando o método ICOR. The reactions per bolt are calculated using Equation (7-1) na página 7-7 do Manual AISC 15ª Edição. That is then used to check whether the assumed location of the instantaneous centre of the bolt group is correct. Finalmente, assim que tivermos a localização correta do IC, we calculate the bolt group coefficient C to determine its strength.
Worked by hand, the ICOR method is a long process, because finding the Instantaneous Centre (CI) is trial and error. With a computer solver the IC of a bolt group is found by programmed iterations instead. A SkyCiv Bolt Group Solver uses a fast iteration method to determine the IC location and the bolt group coefficient in seconds. It is used by both the AISC and AS 4100 connection modules.
The worked example below is the same calculation the solver performs, shown long hand so you can follow what it is doing.
Obtendo as propriedades do grupo Bolt
Let’s start with a simple analysis of a bolt group of four bolts loaded with an eccentric vertical shear load of 10 kips. The eccentricity of the load along the x axis is 4 polegadas à direita do grupo de parafusos. The angle from the vertical is zero and the eccentricity along the y axis is zero.
[math] V_{você} = 10\,kips [math]
[math] \theta = 0\,deg [math]
[math] e_{x} = 4\,in [math]
[math] e_{Y} = 0\,in [math]
The first thing to do is to get the coordinates of all the bolts in the group. Visual guides and tables are highly recommended.
| Código da loja | X (no) | Y (no) |
| 1 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 3 |
| 3 | 3 | 0 |
| 4 | 3 | 3 |
To get the centroid of the bolt group along the x and y axes, precisamos da formula abaixo.
Deixar [mathin] n [mathin] = número total de parafusos
[math] X_{CG} = frac{\soma X}{n} [math]
[math] Y_{CG} = frac{\soma Y}{n} [math]
Então, nossa solução é:
[math] X_{CG} = frac{\soma X}{n} = frac{0\,no + 0\,no + 3\,no + 3\,no}{4} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{CG} = frac{\soma Y}{n} = frac{0\,no + 3\,no + 0\,no + 3\,no}{4} = 1.5\,in [math]
Assuma a localização do I.C.
Depois de obter o centroide, we assume the location of the instantaneous centre (CI). Como primeira tentativa, we can assume the IC sits at the geometric centroid of the bolt group.
Então, presumir
[math] X_{CI} = X_{CG} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{CI} = Y_{CG} = 1.5\,in [math]
Then we tabulate the displacement of each bolt from the IC. Get the distance along x and the distance along y first, then the resultant displacement.
| Código da loja | cx (no) | cy (no) | c (no) |
| 1 | -1.5 | -1.5 | 2.121 |
| 2 | -1.5 | 1.5 | 2.121 |
| 3 | 1.5 | -1.5 | 2.121 |
| 4 | 1.5 | 1.5 | 2.121 |
Onde,
[math] c_{x} = X_{I} – X_{CI} [math]
[math] c_{Y} = Y_{I} – Y_{CI} [math]
[math] c = sqrt{ {\deixou( c_{x} \direito)}^{2} + {\deixou( c_{Y} \direito)}^{2} } [math]
Para Parafuso Não. 1, nossa solução é
[math] c_{x} = 0\,in – 1.5\,in = -1.5\,in [math]
[math] c_{Y} = 0\,in – 1.5\,in = -1.5\,in [math]
[math] c = sqrt{ {\deixou( -1.5\,à direita)}^{2} + {\deixou( -1.5\,à direita)}^{2} } = 2.121\,in [math]
Calcule a deformação por parafuso wrt distância de IC
After getting the bolt distances from the assumed IC location, we calculate the deformation of each bolt as a function of its distance.
A deformação máxima por parafuso, [mathin] \Delta_{max} = 0.34\,in [mathin], é baseado em dados experimentais para um parafuso ASTM conforme descrito na página AISC 7-8. By linear proportion, e configuração [mathin] \Delta_{max} = 0.34\,in [mathin], we can calculate the deformation of an individual bolt relative to its share of the maximum distance [mathin] c_{max} [mathin]. A equação para obter [mathin] \Delta [mathin] é mostrado abaixo.
[math] \Delta_{1} = 0.34\,in \times \left( \fratura{c}{c_{max}} \direito) [math]
Para Parafuso Não. 1, a deformação é
[math] \Delta_{1} = 0.34\,in \times \left( \fratura{2.121\,no}{2.121\,no} \direito) = 0.34\,in [math]
Because the IC was assumed at the centroid, all four bolts are the same distance from it, so all four reach the same deformation. The calculated deformations are tabulated below.
| Código da loja | [mathin] \Delta [mathin] (no) |
| 1 | 0.34 |
| 2 | 0.34 |
| 3 | 0.34 |
| 4 | 0.34 |
Obtenha as reações por parafuso
Uma vez que temos a deformação por parafuso, we use AISC 15th Ed. Eq (7-1) para obter as reações por parafuso.
[math] R = R_{ult} \deixou( 1 – e ^{-10\Delta} \direito)^{0.55} [math]
A [mathin] R_{ult} [mathin] na equação é a carga última assumida em um parafuso, que podemos definir como a resistência ao cisalhamento do parafuso.
[math] R_{ult} = phi R_{n} [math]
Para nosso exemplo, we use a bolt shear strength of [mathin] 24.4\,kip [mathin]. Another value is equally valid, because it cancels out when we calculate the bolt group coefficient [mathin] C [mathin] mais tarde.
Para Parafuso Não. 1, a reação calculada é
[math] R = R_{ult} \deixou( 1 – e ^{-10\Delta} \direito)^{0.55} [math]
[math] R = 24.4\,kip \left( 1 – e ^{-10 \times left( 0.34\,à direita)} \direito)^{0.55} [math]
[math] R = 23.949\,kip [math]
Para o resto dos parafusos, as reações calculadas são as seguintes. The components of the bolt reaction [mathin] R [mathin] ao longo de x e y também são mostrados.
| Código da loja | R (kip) | Detalhes e parâmetros do modelo (kip) | Ry (kip) |
| 1 | 23.949 | 16.937 | -16.937 |
| 2 | 23.949 | -16.937 | -16.937 |
| 3 | 23.949 | 16.937 | 16.937 |
| 4 | 23.949 | -16.937 | 16.937 |
| ⅀Rx = 0 | ⅀Ry = 0 |
Each bolt force acts perpendicular to the line joining that bolt to the IC, which is what sets the sign of its two components. Para Parafuso Nº 1, the solutions for the x and y components are shown below.
[math] R_{x} = -R esquerda( \fratura{c_{Y}}{c} \direito) = -23.949 \times left( \fratura{-1.5\,no}{2.121\,no} \direito) = 16.937\,kip [math]
[math] R_{Y} = R esquerda( \fratura{c_{x}}{c} \direito) = 23.949 \times left( \fratura{-1.5\,no}{2.121\,no} \direito) = -16.937\,kip [math]
Next we need the moment each bolt reaction produces about the IC. Use the components [mathin] R_{x} [mathin] e [mathin] R_{Y} [mathin] with the lever arms [mathin] c_{Y} [mathin] e [mathin] c_{x} [mathin].
[math] M_{r} = -R_{x} c_{Y} + R_{Y} c_{x} [math]
Para Parafuso Nº 1, o momento de reação sobre o IC é
[math] M_{r} = -16.937\,kip \times \left( -1.5\,à direita) + \deixou( -16.937\,kip \right) \times left( -1.5\,à direita) [math]
[math] M_{r} = 50.811\,kip\text{-}no [math]
As a check, the same moment is [mathin] R \times c = 23.949 \vezes 2.121 = 50.8\,kip\text{-}no [mathin], because the force is perpendicular to the radius.
Every bolt here sits the same distance from the assumed IC and carries the same force, so every bolt returns the same moment. The moment reactions are tabulated below.
| Código da loja | Senhor (frango em) |
| 1 | 50.811 |
| 2 | 50.811 |
| 3 | 50.811 |
| 4 | 50.811 |
| ⅀Sr = 203.244 |
Verificando a localização do IC
Agora que temos as reações de cisalhamento e momento por parafuso, we use them to determine the load this bolt group resists. Take the resultant of the sum of all reactions along x and the sum of all reactions along y.
Da seção anterior, we calculated that
[math] \soma R_{x} = 0\,kip [math]
e
[math] \soma R_{Y} = 0\,kip [math]
Então,
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{você} = sqrt{ {\deixou( \soma R_{x} \direito)}^{2} + {\deixou( \soma R_{Y} \direito)}^{2} } = 0\,kip [math]
The resulting load is [mathin] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{você} = 0\,kip [mathin]. A bolt group rotating about its own centroid carries pure moment and no net force, so it cannot resist the applied shear. That already tells us the first assumed IC location is wrong, and we could stop here. For the purpose of this discussion, we will carry on through the remaining steps.
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{ux} = -P_{você}\pecadoesquerda( \teta certo) = 0\,kip [math]
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{uy} = -P_{você}\cosesquerda( \teta certo) = 0\,kip [math]
[math] M_{você} = -P_{ux}\deixou( Y_{CG} + e_{Y} – Y_{CI} \direito) + a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{uy} \deixou( X_{CG} + e_{x} – X_{CI} \direito) = 0\,kip\text{-}no [math]
Desde a,
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{ux} \neq soma R_{x} [math]
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{uy} \neq soma R_{Y} [math]
[math] M_{você} \eu não sou M_{r} [math]
The applied moment is zero while the bolt reactions sum to 203.244 frango em, so equilibrium is not satisfied. The assumed location of the I.C. está incorreto, and we move to the next assumed location.
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Segunda Iteração
Para nossa segunda iteração, let us assume the I.C. está localizado nas coordenadas abaixo. Because the load is a downward shear applied to the right of the group, the true IC lies to the left of the centroid, so the trial moves in that direction.
Presumir
[math] X_{CI} = 0.062\,in [math]
[math] Y_{CI} = 1.5\,in [math]
Then repeat the steps from the first iteration. The table below shows the coordinates, the distance of each bolt from the assumed I.C., and the corresponding deformation with respect to that distance.
| Código da loja | X (no) | Y (no) | cx (no) | cy (no) | c (no) | [mathin] \Delta [mathin] (no) |
| 1 | 0 | 0 | -0.062 | -1.5 | 1.501 | 0.155 |
| 2 | 0 | 3 | -0.062 | 1.5 | 1.501 | 0.155 |
| 3 | 3 | 0 | 2.938 | -1.5 | 3.299 | 0.34 |
| 4 | 3 | 3 | 2.938 | 1.5 | 3.299 | 0.34 |
This time the bolts are not all the same distance from the IC, so only the far pair reaches the 0.34 in limit. The near pair deforms less and therefore carries less load.
Observe que o centróide calculado do grupo de parafusos is unchanged, since the bolt coordinates have not moved.
[math] X_{CG} = 1.5\,in [math]
[math] Y_{CG} = 1.5\,in [math]
Then we calculate the reactions along x, the reactions along y, e o momento correspondente. Os valores estão tabulados abaixo.
| Código da loja | R (kip) | Detalhes e parâmetros do modelo (kip) | Ry (kip) | Senhor (frango em) |
| 1 | 21.4 | 21.4 | -0.9 | 32.1 |
| 2 | 21.4 | -21.4 | -0.9 | 32.1 |
| 3 | 23.9 | 10.9 | 21.3 | 79.0 |
| 4 | 23.9 | -10.9 | 21.3 | 79.0 |
| ⅀Rx = 0 | ⅀Ry = 41 | ⅀Sr = 222 |
A continuação, determinamos a carga resultante de todas as reações ao longo de x e y.
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{você} = sqrt{ {\deixou( \soma R_{x} \direito)}^{2} + {\deixou( \soma R_{Y} \direito)}^{2} } [math]
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{você} = sqrt{ {\deixou( 0\,kip \right)}^{2} + {\deixou( 40.703\,kip \right)}^{2} } [math]
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{você} = 40.703\,kip [math]
Then the components of the resultant load, based on the given [mathin] \theta [mathin], are shown below.
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{ux} = -P_{você}\pecadoesquerda( \teta certo) = -41\,kip \times \sin\left( 0\,grau direito) = 0\,kip [math]
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{uy} = -P_{você}\cosesquerda( \teta certo) = -41\,kip \times \cos\left( 0\,grau direito) = -41\,kip [math]
We then use these components to solve for the moment load about the assumed I.C.
[math] M_{você} = -P_{ux} \deixou( Y_{CG} + e_{Y} – Y_{CI} \direito) + a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{uy} \deixou( X_{CG} + e_{x} – X_{CI} \direito) [math]
[math] M_{você} = -0\,kip esquerda( 1.5\,no + 0\,no – 1.5\,à direita) + \deixou( -41\,kip \right) \deixou( 1.5\,no + 4\,no – 0.062\,à direita) [math]
[math] M_{você} = -222\,kip\text{-}no [math]
A continuação, vamos comparar o calculado [mathin] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{ux} [mathin], [mathin] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{uy} [mathin] e [mathin] M_{você} [mathin] against the reactions of the bolt group.
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{ux} \approx -\sum R_{x} [math]
[math] a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{uy} \approx -\sum R_{Y} [math]
[math] M_{você} \approx -\sum M_{r} [math]
Numerically that is 0 against 0, -41 kip against -41 kip, e -222 kip-in against -222 frango em. The left hand side is close enough to the right hand side that we can take the assumed location of the I.C. as correct.
In practice the solver keeps moving the trial IC until these three residuals fall inside a tolerance, rather than stopping on a visual match.
Resolvendo para o coeficiente C
Uma vez que o I. C.. a localização é determinada, we can get the bolt group coefficient C with the formula below.
[math] C = frac{a pressão exercida na parede segue uma distribuição vertical uniforme{você}}{\phi R_{n}} = frac{40.703\,kip}{24.4\,kip} = 1.668 [math]
The coefficient means the group carries 1.668 times the strength of a single bolt. Note that this is well below the four bolts present, because the eccentricity costs the group most of its nominal capacity. It is also where the choice of [mathin] R_{ult} [mathin] cancels, which is why any consistent value could be used at the start.
Calculadora Gratuita de Grupo de Parafusos
See how we design our bolted connections with this approach in the connection design module. Pick a bolted connection, set the bolt layout and the eccentricity, and the report gives the IC location and the C coefficient along with every other check. Ele roda no navegador, sem nada para instalar.
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